Упражнение 2

Интегриране по части


страницата се нуждае от дописване/преглеждане


Интегриране по части

Интегрирането по части използва следното свойство на интегралите

$\int f(x) d g(x) = f(x)g(x)- \int g(x) d f(x)$
а от предното упражнение знаем $d h(x) = h'(x) dx$
следователно
$\int f(x) g'(x)d x = f(x)g(x)- \int g(x) f'(x) dx$

Задача 1

$\int x^2 \arccos x dx = \dfrac{1}{3} \int \arccos x d x^3 = \dfrac{1}{3}( x^3 \arccos x - \int (\arccos x)' x^3 dx ) =$
$= \dfrac{1}{3} x^3 \arccos x - \dfrac{1}{3} \int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} x^3 dx =$
сега ще разгледаме само интеграла от полученото опростяване на задачата
$\int \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} x^3 dx = \int \dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} x dx = \dfrac{1}{2} \int \dfrac{x^2}{\sqrt{1-x^2}} dx^2 =$
полагаме $x^2= u$
$\dfrac{1}{2} \int \dfrac{u}{\sqrt{1-u}} \ du = -\dfrac{1}{2} \int \dfrac{- u}{\sqrt{1-u}} du = -\dfrac{1}{2} \int \dfrac{-1 + 1- u}{\sqrt{1-u}} du$

$-\dfrac{1}{2} \int \dfrac{-1 + 1- u}{\sqrt{1-u}} du = -\dfrac{1}{2}(\int \dfrac{ 1- u}{\sqrt{1-u}} -\int \dfrac{1}{\sqrt{1-u}} du ) =$
$= -\dfrac{1}{2}(\int \sqrt{1-u} \ du -\int \dfrac{1}{\sqrt{1-u}} du ) = -\dfrac{1}{2}\big(-\int (1-u)^{\frac{1}{2}} \ d(1-u) -\int (1-u)^{-\frac{1}{2}} du \big) =$
$= -\dfrac{1}{2}\big(-\int (1-u)^{\frac{1}{2}} \ d(1-u) +\int (1-u)^{-\frac{1}{2}} d(1-u) \big) =$
Така стигнахме до таблични интеграли от тук трябва дасе справите сами ако сте разбрали добре 2-то упражнение.

Задача 2

$\int \dfrac{\arcsin x}{x^2} dx = \int \arcsin x d \frac{1}{x} = \frac{1}{x} \arcsin x - \int \dfrac{1}{x\sqrt{1-x^2}} dx =$
$= \frac{1}{x} \arcsin x - \int \dfrac{1}{x^2\sqrt{(\frac{1}{x})^2-1}} dx = \frac{1}{x} \arcsin x - \int \dfrac{1}{\sqrt{(\frac{1}{x})^2-1}} d\frac{1}{x}$
$= \frac{1}{x} \arcsin x - \int \dfrac{1}{\sqrt{(\frac{1}{x})^2-1}} d\frac{1}{x} = \frac{1}{x} \arcsin x - \ln |\frac{1}{x} + \sqrt{(\frac{1}{x})^2-1} |$

Задача 3

$\int \arctan \sqrt{x} dx = x\arctan \sqrt{x} - \int x (\arctan \sqrt{x})' dx = x\arctan \sqrt{x} - \int x \dfrac{1}{1+x}(sqrt{x})' dx =$
$=x\arctan \sqrt{x} - \int \dfrac{x}{1+x} d \sqrt{x} = x\arctan \sqrt{x} - \int \dfrac{1+x -1}{1+x} d \sqrt{x}$
$= x\arctan \sqrt{x} - \int \dfrac{1+x}{1+x} d \sqrt{x} + \int \dfrac{1}{1+x} d \sqrt{x} =$
$=x\arctan \sqrt{x} - \sqr{x} + \arctan \sqrt{x}$

Задача 4

Това е отново една от задачите, с решение тип "умен съм бил, сетил съм се"
$\int (\arcsin x)^2 dx = x \arcsin^2 x - \int x 2 \arcsin x \dfrac{1}{\sqrt{1-x^2}} dx = x \arcsin^2 x - \int \arcsin x \dfrac{2x}{\sqrt{1-x^2}} dx = (*)$
тук забелязваме, че $(sqrt{1-x^2})' = \dfrac{ -2x}{sqrt{1-x^2}}$
следователно
$(*) = x \arcsin^2 x - \int \arcsin x d \sqrt{1-x^2} =$
$= x \arcsin^2 x -\sqrt{1-x^2}\arcsin x + \int \sqrt{1-x^2} \dfrac {1}{\sqrt{1-x^2}} dx =$
$= x \arcsin^2 x -\sqrt{1-x^2}\arcsin x + x$

Задача 5

Тая вече е 'ептен магическа.

$\int \dfrac{1}{(x^2+a^2)^2}dx = \dfrac{1}{a^2} \int \dfrac{a^2}{(x^2+a^2)^2} dx =$
$= \dfrac{1}{a^2} \int \dfrac{x^2+a^2 - x^2}{(x^2+a^2)^2} dx = \dfrac{1}{a^2} \int \dfrac{x^2+a^2 - x^2}{(x^2+a^2)^2} dx =$
$= \dfrac{1}{a^2} \int \dfrac{x^2+a^2}{(x^2+a^2)^2} dx - \dfrac{1}{a^2} \int \dfrac{x^2}{(x^2+a^2)^2} dx =$
$= \dfrac{1}{a^2} \int \dfrac{1}{x^2+a^2} dx - \dfrac{1}{a^2} \int \dfrac{x^2}{(x^2+a^2)^2} dx =$
$= \dfrac{1}{a^2} \int \dfrac{1}{x^2+a^2} dx - \dfrac{1}{2a^2} \int \dfrac{x}{(x^2+a^2)^2} dx^2+a^2 =$
Тук използваме, че $\dfrac{du}{u^2} = -\dfrac{1}{u}$
$= \dfrac{1}{a^2} \int \dfrac{1}{x^2+a^2} dx + \dfrac{1}{2a^2} \int x d\dfrac{1}{x^2+a^2} =$

$= \dfrac{1}{a^2} \int \dfrac{1}{x^2+a^2} dx + \dfrac{1}{2a^2}x\dfrac{1}{x^2+a^2} - \dfrac{1}{2a^2} \int \dfrac{1}{x^2+a^2} d x =$
$= \dfrac{1}{2a^2}x\dfrac{1}{x^2+a^2} + \dfrac{1}{a^2} \int \dfrac{1}{x^2+a^2} d x =$
$= \dfrac{1}{2a^2}x\dfrac{1}{x^2+a^2} + \dfrac{1}{2a^2} \int \dfrac{1}{(\frac{x}{a})^2+1} d \frac{x}{a} =$
$= \dfrac{x}{2a^3} \arctan \frac{x}{a} + \dfrac{x}{2a^2(x^2+a^2)}$

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License