Упражнение 1

Тука сложи заглавие


страницата се нуждае от дописване/преглеждане


Малко основи

Примитивна фунцкия

Нека имаме функция $F(x)$ имаме и производната и $F'(x)=f(x)$. Разбира се не трябва да забравяме, че $f(x)$ е производната на всички фунции $F(x) + c$, където $c$ е произволна константа в случая от $\mathbb R$.
Функцията $F(x)$ ще наричаме първообраз или примитивна на $f(x)$ и ще бележим
$F(x) + c = \int f(x)dx$
$c$ наричаме интеграционна константа.

Интегрирането е линеен функционал

или просто казано

$\int [c * f(x) \pm b * g(x) ]dx = c * \int f(x)dx \pm b * \int g(x) dx$

Таблични интеграли

Това е таблица с основните интеграли.

$\int x^a dx = \dfrac{x^{a+1}}{a+1} + c$ за $a \neq -1$
$\int \dfrac{1}{x} dx = \ln |x|$
$\int a^x dx = \dfrac{ a^x}{\ln a}$ за $a>0$
$\int \dfrac{1}{1+x^2} dx = \begin{cases} arctg \ x \\ -arcctg \ x \end{cases}$

$\int \dfrac{1}{\sqrt {1-x^2}} dx = \begin{cases} \arcsin x \\ -\arccos x \end{cases}$
$\int \dfrac{1}{1-x^2} dx = \dfrac{1}{2} \lg |\dfrac{1+x}{1-x}|$
$\int \dfrac{1}{\sqrt{x^2 \pm 1}} = \ln |x+\sqrt{x^2 \pm 1}|$

$\int \sin x dx = - \cos x$
$\int \cos x dx = \sin x$
$\int \dfrac{1}{\cos ^2 x}dx = \tan x$
$\int \dfrac{1}{\sin ^2 x}dx = - cotan \ x$

Ако се загледате, ще видите, че много прилича на таблицата с основни производни, но обърната.

Едно основно правило при интегриране

Мисля, че се нарича правило за смяна на променлива.
Нека
$\phi (x) = u$ и $\int f(u)du = F(u) +c$
вярно е и
$\int f(\phi (x))d\phi (x) = F(\phi (x)) +c$
вярно е и
$\int f(\phi (x)) \phi ' (x) dx = F(\phi (x)) +c$

Полезно правило за интегриране ( Ставрова започна с него )

$\int f(ax+b)dx = \dfrac{1}{a} F(ax+b)$ при $a \neq 0$

Задача 1

$\int \frac{1}{e^x+1} dx = \int \dfrac{1}{e^x(1+e^{-x})} dx = \int \dfrac{e^{-x}}{1+e^{-x}} dx = (*)$
До тук бяха само операции с дроби. Сега следват малко трикове.
$(*) = \int \dfrac{e^{-x}}{1+e^{-x}} d-(-x) = - \int \dfrac{e^{-x}}{1+e^{-x}} d (-x) = (*)$
Сега пъхаме числителя под $d$ (като $(e^{-x})' = -e^{-x}$).
$(*) = -\int \dfrac{1}{1+e^{-x}} d e^{(-x)} = -\int \dfrac{1}{1+e^{-x}} d 1 + e^{(-x)}$
И така, приведохме интеграла в вид в който в знаменателя и стойноста под $d$ е еднаква, което е 2-я табличен интеграл, следователно
$(*) = - \ln (e^{-x} + 1)$

Задача 2

$\int \dfrac{1}{\sqrt{e^x-1}} dx = \int \dfrac {1}{\sqrt{e^x}\sqrt{1-e^{-x}}} dx = \int \dfrac {e^{-\frac{x}{2}}}{\sqrt{1-e^{-x}}} dx = \int \dfrac {e^{-\frac{x}{2}}}{\sqrt{1-({e^{-\frac {x}{2}}})^2 }} dx$ $= (*)$
Сега отново ще пъхнем знаменателя под $d$, като използваме правилото което дадохме малко по-горе
$(*) = \int \dfrac {e^{-\frac{x}{2}}}{\sqrt{1-({e^{-\frac {x}{2}}})^2 }} d-(-2*\frac{x}{2}) = -2 \int \dfrac {e^{-\frac{x}{2}}}{\sqrt{1-({e^{-\frac {x}{2}}})^2 }} d-\frac{x}{2} = -2 \int \dfrac {1}{\sqrt{1-({e^{-\frac {x}{2}}})^2 }} d e^{-\frac{x}{2}}$ $= (*)$
И така сведохме нашия интеграл до табличен
$= -2* \arcsin e^{-\frac{x}{2}} + c$

Задача 3

$\int \sin (2x+3) dx = \int \sin(2x+3) d \frac{1}{2} 2x = \frac{1}{2} \int \sin(2x+3) d2x =$ $\frac{1}{2} \int \sin(2x+3) d(2x +3) = -\frac{1}{2} cos(2x+3)+c$
Тук само променяхме каквото имаме под $d$

Задача 4

В тази задача отново ще променяме само каквото имаме под $d$.
$\int \dfrac{1}{\sqrt{2-5x}}dx = -\dfrac{1}{5} \int \dfrac{1}{\sqrt{2-5x}}d-5x = -\dfrac{1}{5} \int \dfrac{1}{\sqrt{2-5x}}d2-5x =$
$-\dfrac{1}{5} \int (sqrt{2-5x})^{-\frac{1}{2}}d2-5x = (*)$
Това е първият табличен интеграл
$(*) = -\dfrac{1}{5} \dfrac {(2-5x)^{-\frac{1}{2}+1}}{-\frac{1}{2}+1}$
опростете по собствен вкус

Задача 5

$\int \dfrac{1}{\sqrt{3x^2-2}} dx =$
отг. $\dfrac{1}{\sqrt{3}} |x \sqrt{ \frac{3}{2}} + \sqrt{(x \sqrt{ \frac{3}{2}})^2 -1} |$

Задача 6

$\int \dfrac{1}{1+\sin x} dx = (*)$
Тук използваме малко тригонометрия, а именно $(\sin \frac{x}{2} + \cos \frac{x}{2})^2 = 1+2\sin \frac {x}{2} \cos \frac {x}{2} = 1+\sin x = 2 sin^2(\frac{\Pi}{4} + \frac{x}{2})$
и така задачата се свежда до
$(*) = \int \dfrac{1}{2sin^2(\frac{\Pi}{4} + \frac{x}{2})} dx = \int \dfrac{1}{sin^2(\frac{\Pi}{4} + \frac{x}{2})} d \frac{x}{2}+\frac{\Pi}{4} = -cotg \ (\frac{x}{2}+\frac{\Pi}{4})$

Задача 7

Тази задачаа използва магически трик, трябва добре да запомните трика, полезен е.

$\int \dfrac{x^2+1}{x^4+1}dx = \int \dfrac{x^2(1+\frac{1}{x^2})}{x^2(x^2+\frac{1}{x^2})}dx = \int \dfrac{1+\frac{1}{x^2}}{x^2+\frac{1}{x^2}}dx = (*)$
Маическия трик е, че $(1+\frac{1}{x})' = 1 + \frac{1}{x^2}$
което означава, че можем да пъхнем знаменателя под $d$

$\int \dfrac{1}{x^2+\frac{1}{x^2}}d1+\frac{1}{x} = \int \dfrac{1}{(x+\frac{1}{x})^2 - 2}d1+\frac{1}{x} = (*)$
полагаме $u = 1+\frac{1}{x}$
$(*) = \int \dfrac{1}{u^2 - 2}du$ - такава задача решавахме
$(*) = \frac{1}{\sqrt{2}} \int \dfrac{d \frac{u}{\sqrt{2}}}{(\frac{u}{\sqrt{2}})^2+1}= \frac{1}{\sqrt{2}}*arctg \ \frac{u}{\sqrt{2}}$

Задача 8

$\int \dfrac{1}{x \sqrt{x^2+1}} dx = \int \dfrac{1}{x^2\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} dx = \int \dfrac{1}{\sqrt{1+\frac{1}{x^2}}} d\frac{1}{x} =$
$\int \dfrac{1}{\sqrt{1+(\frac{1}{x})^2}} d\frac{1}{x} = \ln |\frac{1}{x} +\sqrt{1+(\frac{1}{x})^2}} |$

Задача 9

$\int \dfrac {2^x3^x}{9^x-4^x}dx = \int \dfrac{1}{\frac{3^x}{2^x}-\frac{2^x}{3^x}} dx = \int \dfrac{1}{\frac{3^x}{2^x}-\frac{2^x}{3^x}} dx =$
$= \int \dfrac{1}{\frac{3^x}{2^x}(1 -\frac{4^x}{9^x})} dx = \int \dfrac{\frac{2^x}{3^x}}{1 -\frac{4^x}{9^x}} dx =$
$= \int \dfrac{\frac{2^x}{3^x}}{1 -(\frac{2^x}{3^x})^2} dx = \int \dfrac{(\frac{2}{3})^x }{1 -(\frac{2}{3})^2x} dx =$
$= \dfrac{1}{\ln \frac{2}{3}} \int \dfrac{1 }{1 -(\frac{2}{3})^2x} d(\frac{2}{3})^x = \dfrac{1}{\ln \frac{2}{3}} \dfrac{1}{2}\lg |\dfrac{1+\frac{2^x}{3^x}}{1-\frac{2^x}{3^x}}|$

Задача 10

$\int \dfrac{x^{\frac{n}{2}} }{\sqrt{1+x^{n+2}}} dx = \dfrac{2}{\frac{n}{2}+2} \int \dfrac{d \ x^{\frac{n}{2}+1}}{\sqrt{1+(x^{\frac{n}{2}+1})^2}} = \dfrac{2}{\frac{n}{2}+2} \ln | x^{\frac{n}{2}+1} +\sqrt{1+(x^{\frac{n}{2}+1})^2} |$

Задача 11

$\int \dfrac{x^2-1}{x\sqrt{x^4+3x^2+1}} dx = \int \dfrac{x^2-1}{x^2\sqrt{x^2+\frac{1}{x^2}+2+1}} dx =$
$= \int \dfrac{x^2-1}{x^2\sqrt{(x+\frac{1}{x})^2+1}} dx = \int \dfrac{1-\frac{1}{x^2}}{\sqrt{(x+\frac{1}{x})^2+1}} dx =$
тук се сещаме, че $1-\frac{1}{x^2} d = dx+\frac{1}{x}$
$= \int \dfrac{1}{\sqrt{(x+\frac{1}{x})^2+1}} dx+\frac{1}{x} = ln|x+\frac{1}{x}+\sqrt{(x+\frac{1}{x})^2+1}|$

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License