Тема 2

Групи


страницата се нуждае от дописване/преглеждане


Дефиниция за Група

Група:

Непразно множество с една бинарна операция. Тябва да имаме и неутрален елемент относно бинарната операция, обратен елемент на всеки(освен неутралния) отностно бинарната операция и бинарната операция да е асоциативна.
За повече информация

За сега ще напиша условията на задачите и като разбера как се решават ще напиша и решенията.

Задача 1

Нека $G$ е група, $a \in G : |a| = r$, т.е. $a^r =$ един елемент $|a| = r = |<a>|$ като $|<a>|$ е циклична подгрупа породена от $a$ с $r$ на брой елемента.
Док.
a.) $a^n = e \iff r / n$
б.)$a^m = a^n \iff m\equiv n \pmod r$
в.) $|a^k | = \dfrac{r}{(r,k)}$

Решение:

а.)
Първо разписваме $n$
$n = r.q + r_0 : 0 \le r_0 \le r - 1$
и сега разписваме $a^n$
$a^n = a^{rq}a^{r_0} = (a ^r)^q.a^{r_0}$, но $r$ - най-малкото естествено число $a^r \rightarrow$ един. елемент $\Rightarrow (a^{r})^q \rightarrow$ един. елемент $\Rightarrow a^n = a^{r_0}$, ако $a^{r_0} = e \iff r_0=0$

б.)
Б.О.О.
$m > n \Rightarrow a^m = a^n \iff a^ma^{-n} = e \iff a^{m-n}=l \rightarrow$ следва от a.)

в.)
$a^k$ за $\forall$ възможности $k$ с $r \Rightarrow a^k \rightarrow$ поражда групата.
Нека $|a^k| = S$ (1)
и
$d = (r,k) \Rightarrow \begin{array}{|rcl} r & = & d r_1 \\ k & = & dk_1 \ \ \ \ (2) \\ (r_1,k_1) & = & 1 \\ \end{array}$

Елементите на породената група са от вида $a^{ks}, s \in N$. Въпросът е кой е най-малкият елемент, който е равен на $e$, или още на $a^{rm}, m \in M$(защото всички единични елементи кратни на $a$ са от този вид). Това е еквивалентно на въпроса "Кое е най-малкото s такова, че $s \equiv 0 (mod \quad{r})$". Или още "По какво число трябва да умножа K, за да стане кратно на R?" Сравнително лесно се проверява, че това е точно gcd(k, r).

$(a^k)^s = e \Rightarrow a^{ks}= e \Rightarrow$ от а.) $\Rightarrow r/ks \Rightarrow ks = r.m$

Задача 2

Нека $G$ е група и $a \in G$. Тогава
a) $|a| = |g^{-1}ag|$, за всяко $g \in G$
b) $|ab| = |ba|$, за всяко $b \in G$
Решение:
a) Нека $|a| = r$, и $| g^{-1}ag | = r'$.
Да проверим колко е $(g^{-1}ag)^r$:

(1)
\begin{eqnarray} (g^{-1}ag)^r &=& \underbrace{(g^{-1}ag)(g^{-1}ag)\cdots(g^{-1}ag)}_{r} \\ &=& g^{-1}a(gg^{-1})a(gg^{-1})a\cdots a(gg^{-1})ag \\ &=& g^{-1}a^rg \\ &=& g^{-1}g \\ &=& e \end{eqnarray}

следователно получихме, че $r' / r$ (от предишната задача).
Сега да видим какво ни дава $(g^{-1}ag)^r'$ (т.е до е $e$ обаче да видим като израз):

(2)
\begin{eqnarray} (g^{-1}ag)^r' &=& g^{-1}a^{r'}g = e \iff \\ a^{r'}g &=& g \iff \\ a^{r'} &=& e \\ \end{eqnarray}

От тук получихме, че $r / r'$. Следователно $r = r'$, откъдето и $|a| = |g^{-1}ag|$
b)
1ви начин: забелязваме, че $ba = a^{-1}(ab)a$, т.е че $ba$ е спрегнат на $ab$. Използваме горната подточка и сме готови.
2ри начин: горният начин е за женчовци - мъжете правят всичко отначало докрай :)
Нека $|ab| = r \And |ba| = r'$. От тук получаваме $(ab)^r = r \iff (ab)^{r-1} = (ab)^{-1}$. Сега да разпишем $(ab)^r$:

(3)
\begin{eqnarray} (ba)^r &=& \underbrace{(ba)(ba)\cdots(ba)}_{r} \\ &=& b\underbrace{(ab)(ab)\cdots(ab)}_{r-1}a \\ &=& b(ab)^{-1}a \\ &=& b(b^{-1}a^{-1})a \\ &=& e \end{eqnarray}

Следователно получихме, че $r' / r$. Т.е доказахме, че степента на елемента $ba$ дели степента на елемента $ab$. Е, сега използваме същото нещо но за $ab$ (т.е заменяме $b$ с $a$ и обратно) и получаваме, че $r / r'$. Следователно $r' = r$.

Задача 3

Нека $G$ е група, която има единствен елемент от степен $2$. Тогава той комутира със всички елементи.

Доказателство: Нека $G = \{ e, g, a_1, a_2, \cdots \}$, където $e$ е единичния, $g$ е единствения със степен $2$, а $a_i$ са елементи на групата със степен по-висока от $2$. Да разгледаме $x^{-1}gx$ (т.е $g$ спрегнато с $x$). Ще докажем, че елемента е от 2ра степен:

(4)
\begin{equation} (x^{-1}gx)^{2} = (x^{-1}gx)(x^{-1}gx) = x^{-1}ggx = x^{-1}x = e \end{equation}

Следователно $|x^{-1}gx| = 2$. Понеже има единствен елемент със степен 2, то $g = x^{-1}gx$. Сега просто прехвърляме $x^{-1}$ и получаваме, че $xg = gx$, за всяко $x \in G$ - т.е доказахме, че $g$ комутира с групата.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License