Тука сложи заглавие
Задачи от 12 Юни 2009 г.
Вариант A
Задача 1
Намерете полином $f(x)= x^3 + bx^2+cx+d \in \mathbb{Z} [ x ]$, който при делене с $(x^2-1)$ дава остатък $r(x) = -4x+1$ и за корените му $x_1,\ x_2,\ x_3$ е на лице зависимостта:
$\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}+\dfrac{1}{x_3^2} = 25$
Задача 2
Разглеждаме пръстена
$R = \{ \bigg( \begin{matrix} & a & b & \\ &0 & c & \end{matrix} \bigg) : a,\ b,\ c,\ \in \mathbb{Z} \}$.
Нека $p$ е просто число и нека $I$ и $J$ са множествата:
$I = \{ \bigg( \begin{matrix} & a & b & \\ &0 & c & \end{matrix} \bigg) \in R : p | c \}, J = \{ \bigg( \begin{matrix} & a & b & \\ &0 & c & \end{matrix} \bigg) \in R : p | c, \ p|a \}$
Да се докаже, че
а.) $I \vartriangleleft R , \ J \vartriangleleft R$
b.) Факторпръстенът $R/I$ е поле, а факторпръстенът $R/J$ не е поле.
Задача 3
Нека $R$ е комутативен пръстен с единица. Да се докаже, че ако в $R$ един идеал $M$ се състои от всички необратими елементи на $R$, то $M$ е единствения максимален идеал на $R$. Обратно, ако $M$ е единствен максимален идеал на $R$, то $M$ се състои от всички необратими елементи на $R$.
Вариант B
Задача 1
Намерете полином $f(x)= x^3 + bx^2+cx+d \in \mathbb{Z} [ x ]$, който при делене с $(x^2-1)$ дава остатък $r(x) = -2x+1$ и за корените му $x_1,\ x_2,\ x_3$ е на лице зависимостта:
$\dfrac{1}{x_1^2}+\dfrac{1}{x_2^2}+\dfrac{1}{x_3^2} = 9$
Задача 2
същата като предната група
Задача 3
същата като предната група