Контролно 1

Условия и Решения на задачите от Контролно 1 (2009 летен семестър)


страницата се нуждае от дописване/преглеждане


Задача 1

Да се намери остатъкът на $(85^{74}+17^{95})^{15}$ и $13$.
Решение:

Тези задачки са доста прости. В тях се използва, че за $a^b \equiv x \pmod c$ имаме $x = (a \bmod c)^b \bmod c$
това се извежда лесно като използваме, че едно цяло число $d$ може да се предсави в следния вид $d = pq + r$ вдигаме двете страни на $n$-та степен(или хайде $k$-та, че $n$ e много голяма) и получаваме $d^k = (pq + r)^k = (pq)^k + a_1(pq)^{k-1}r+a_2(pq)^{k-2}r^2+...+r^k$ след като разписахме виждаме, че всички числа преди $r^k$ се делят на q останалото е остатъ, за който можем да приложим същото.

Задача 2

Нека е дадено множеството от матрици $2x2$ с елементи цели числа. $G = \{ \bigg( {\begin{matrix} & a & b & \\ & c & d &\end{matrix}} \bigg) : a,\ b,\ c,\ d \in \mathbb{Z}, ad - bc = 1 \}$ и неговото подмножество $H = \{ \bigg( {\begin{matrix} & a & b & \\ & c & d &\end{matrix}} \bigg) : a \equiv d \equiv1 \pmod 2 , \ b \equiv c \equiv 0 \pmod 2 \}$

a.) Да се докаже, че $G$ е група отностно операцията умножение на матрици и $H$ е негова нормална подгрупа.
б.) Да се определи редът на факторгрупата $G \setminus H$ и редовете на неините елеменит.
в.) Да се докаже, че $G \setminus H$ е изоморфна на диедралната група $D_{3}$.

Решение:
а.) за да докажем, че $G$ е група, трябва да докажем, че умножението на матрици е асоциативно(което е така, няма нужда да го правим), в множеството има неутрален елемент по отношение на операцията и всеки елемент има противоположен в групата.

  1. умножаването е асоциативно, следствие от дефиницията
  2. разбира сееденичен елемент е $e = \bigg( \begin{matrix} & 1 & 0 & \\ & 0 & 1 & \end{matrix} \bigg)$ защото $\bigg( \begin{matrix} & a & b & \\ & c & d & \end{matrix} \bigg) \bigg( \begin{matrix} & 1 & 0 & \\ & 0 & 1 & \end{matrix} \bigg) = \bigg( \begin{matrix} & a & b & \\ & c & d & \end{matrix} \bigg)$ просто умножаваме матриците, по алгоритъма за умножаване на матрици - ред по стълб
  3. сега ще покажем, че всеки елемент има обратен, като вземем случаен елемент от $G$, намерим неговия обратен и докажем, че и той е в $G$

За да намерим обратния елемент взимаме случайна матрица и решаваме уравнението: (където търсим $p,q,m,k$)
$\bigg( \begin{matrix} & a & b & \\ & c & d & \end{matrix} \bigg) \bigg( \begin{matrix} & p & q & \\ & m & k & \end{matrix} \bigg) = \bigg( \begin{matrix} & 1 & 0 & \\ & 0 & 1 & \end{matrix} \bigg)$
След което да докажем, че $pk-qm = 1$

Задача 3

Нека $A$ е група, а $B$ e подгрупа на центъра й: $Z(A) = \{ x | x \in A \And xa = ax \quad \forall a \in A \}$. Да се докаже, че ако факторгрупата $A / B$ е циклична, то $A$ e комутативна.

Решение:
Първо да си припомним какво е фактор група - това са всички съседни класове на $B$ (понеже $B$ е нормална подгрупа на $A$ левите и десните съседни класове съвпадат. Нормална подгрупа е, защото е комутативна (като подгрупа на комутативния център) и подгрупа). Това означава, че всъщност:

(1)
\begin{align} A / B = \{ aB | a \in A \} \end{align}

Сега да използваме, че е циклична. Това означава, че има пораждащ елемент, т.е елемент, степените на който са всъщност всички елементи на факторгрупата. Другояче казано - всеки елемент от факторгрупата е някаква степен на пораждащия елемент.
Нека пораждащ елемент на $A / B$ е $gB$. Т.е $\langle gB \rangle = A / B$, т.е $\forall aB \in A / B\ \exists k \in \mathbb N : (gB)^{k} = aB \iff g^{k}B = aB$.
Както знаем, елементите във всички съседни класове, т.е елементите на елементите на фактргрупата са елементи на $A$. От написаното по-горе става ясно, че произволен елемент $a$ от $A$ принадлежи на някой съседен клас, и от тук може да бъде изразен като $g^kb$, където $b$ е елемент на $B$ (тук разбира се използваме, че ако $a \in g^{k}B \Rightarrow a = g^{k}b \ b \in B$).

Сега ще докажем, че два произволни елемента на $A$ комутират, като използваме току що изведеното представяне:

(2)
\begin{eqnarray} a_1 &=& g^{k_1}b_1 \\ a_2 &=& g^{k_2}b_2 \\ a_1a_2 &=& (g^{k_1}b_1).(g^{k_2}b_2) \\ &=& (g^{k_1}b_1)(b_2g^{k_2}) \\ &=& g^{k_1}(b_2b_1)g^{k_2} \\ &=& (b_2b_1)g^{k_1}g^{k_2} \\ &=& (b_2b_1)g^{k_2}g^{k_1} \\ &=& g^{k_2}(b_2b_1)g^{k_1} \\ &=& (g^{k_2}b_2).(g^{k_1}b_1) \\ &=& a_2a_1 \end{eqnarray}

Разбира се използваме, че елементите на $B$ комутират със всички останали, а $g^{k_1}g^{k_2} = g^{k_1+k_2} = g^{k_2+k_1} = g^{k_2}g^{k_1}$.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License