Тема 21

Циклотомични полиноми. Теорема на Ведербърн за крайните полета.


страницата се нуждае от дописване/преглеждане


Малко предистория

Предполагам помните $C_n = \{ \alpha \in \mathbb{C}\ |\ \alpha^n = 1\}$ - цикличната група от $n$-ти ред, $n \in \mathbb{N}$ (тя е единствена с точност до изоморфизъм)

Елементите на $C_n$ са $n$-тите корени на единицата, т.е. $w = cos{\frac{2\pi}_{n}} + isin{\frac{2\pi}_{n}}\in C_n$
Освен това, $w$ е елемент от ред $n$ (т.е. $o(w) = |w| = n$), следователно той е пораждащ за $C_n$, или иначе казано:

$C_n = <\!w\!> = \{ 1, w, w^2, \dots, w^{n-1} \}$

Сега се досещаме, че за $\forall d > 0: \ d|n \Longrightarrow C_d < C_n$
Последното е долу-горе очевидно, ако някой желае - да го докаже :)

Друго не чак толкова очевидно, но и не чак толкова трудно даказуемо е следното… твърдение:
$o(w) = |w| = n \Longrightarrow |w^k| = \frac{n}_{(n,k)}$

ето една може би формална

Дефиниция (примитивен n-ти корен на 1)

Ако $w \in C_n$ и ако $o(w) = n$, то $w$ е примитивен n-ти корен на единицата.


Разбира се, не е трудно да се види, че един елемент $w^k \in C_n$ е примитивен n-ти корен на единицата, т.с.т.к. $(n, k) = 1$
Затова не е трудно да се досетим, че примитивните n-ти корени на единицата са $\varphi(n)$ на брой.
Припомням: $\varphi(n)$ е броят на всички естествени числа, които са по-малки от $n$ и взаимно прости с $n$.

/* Впрочем всичко казано дотук е казвано и на лекции и на упражнения по няколко пъти и е стар материал, който е само въведение към новия. А ето го и него.. */

Дефиниция(n-ти циклотомичен полином)

Полиномът

(1)
\begin{align} \Phi_n(x) = \prod_{i=1}^{\varphi(n)} (x - \xi_i ) \end{align}

където $\xi_1, \xi_2, \dots, \xi_{\varphi(n)}$ са примитивните n-ти корени на единицата, наричаме циклотомичен n-ти полином.

Разбира се, очевидно е, че $\Phi_n(x) \in \mathbb{C}[x]$, тък като в общия случай n-тите корените на единицата са комплексни числа.


Примери

При $n = 1 \Longrightarrow C_n = \{ 1 \}$
Тук 1 е примитивен корен, тъй като $o(1) = 1 = n$ и от дефиницията, следва, че $\Phi_1(x) = x - 1$

При $n = 2 \Longrightarrow C_n = \{ 1, -1 \}$
Тук $o(1) = 1 \neq n$ и $o(-1) = 2 = n$, т.е само -1 е примитивен корен и $\Phi_2(x) = x + 1$

При $n = 4 \Longrightarrow C_n = \{ 1, i, -1, i \}$
Проверяваме, че $o(1) = 1 \neq n, \ o(-1) = 2 \neq n, \ o(i) = o(-i) = 4 = n$, т.е $\Phi_4(x) = (x - i)(x + i) = x^2 + 1$

Теорема

(2)
\begin{align} x^n - 1 = \prod_{k = 0}^{n-1} ( x - w^k) = \prod_{d | n} \Phi_d(x) \end{align}

Официално доказателство на теоремата не е приложено на лекции, така че нямам намерение аз да си го смуча от пръстите ;)
Но, ако се замислите, не изглежда нелогично.

Още примери

От горната теорема следва, че

(3)
\begin{align} x^3 -1 = \Phi_3(x) \Phi_1(x) \Longrightarrow \Phi_3(x) = \frac{x^3 - 1}{x - 1} = x^2 + x + 1 \end{align}

Аналогично

(4)
\begin{align} \Phi_6(x) = \frac{x^6 - 1}{\underbrace{\Phi_3(x) \Phi_1(x)}_{x^3 - 1} \Phi_2(x)} = \frac{(x^3 - 1)(x^3 + 1)}{(x^3 - 1)(x + 1)} = \frac{x^3 + 1}{x + 1} = x^2 - x + 1 \end{align}

Освен това, ако $p$ е просто число, то

(5)
\begin{align} x^p - 1 = \Phi_p(x) \Phi_1(x) \Longrightarrow \Phi_p(x) = x^{p-1} + x^{p-2} + \dots + x + 1 \end{align}

Теорема

Циклотомичният n-ти полином е с цели коефициенти.

(6)
\begin{align} \Phi_n(x) \in \mathbb{Z}[x] \end{align}

Доказателство:
Индукция по $n$:

1. За $n = 1, 2, \dots, 7$ видяхме, че $\Phi_n(x) \in \mathbb{Z}[x]$

2. Нека за $k <= n-1 \Longrightarrow \Phi_k(x) \in \mathbb{Z}[x]$

3.

(7)
\begin{align} x^n - 1 = \prod_{d|n} \Phi_d(x) \Longrightarrow \Phi_n(x) = \frac{x^n - 1 }{\underbrace{\prod_{d|n, d < n} \Phi_d(x)}_{\in \mathbb{Z}[x]}} \end{align}

От индукционната хипотеза знаменателят е с цели коефициенти, освен това старшият му коефициент е 1.
$\Longrightarrow \Phi_n(x) \in \mathbb{Z}[x]$

Теорема

Нека $n \in \mathbb{N}, \ n > 1$ и $d|n$
Тогава:

(8)
\begin{align} 1.\ \Phi_n(q) \bigg| \frac{q^n - 1}{q^d -1}, \ q > 1, q \in \mathbb{N} \end{align}
(9)
\begin{align} 2.\ \Phi_n(q) \nmid q - 1,\ q > 1, \ q \in \mathbb{N} \end{align}

Доказателство:
1.

(10)
\begin{align} x^n - 1 = \prod_{t|n} \Phi_t(x) = \underbrace{ \prod_{t|d} \Phi_t(x) }_{ x^d - 1} . \prod_{t_1 |n,\ t_1 \nmid d,\ t_1 < n} \Phi_{t_1} (x). \Phi_n(x) \end{align}
(11)
\begin{align} \Longrightarrow \frac{x^n - 1}{x^d - 1} = \Phi_n(x) . \prod_{t_1 |n, \ t_1 \nmid d, \ t_1 < n} \Phi_{t_1} (x) \end{align}
(12)
\begin{align} \xrightarrow{q \in \mathbb{N}} \Phi_n (q) \bigg| \frac{q^n - 1}{q^d - 1} \end{align}

2.
Първи случай: $n > 2$

(13)
\begin{align} \Phi_n (q) = \prod (q - \xi_i) \end{align}

$\xi_i$ е примитивен n-ти корен на единицата.

mims_algebra.PNG

От геометрична гледна точка, имаме, че $|q - \xi_i| > |q - 1|$
Изпълнено е за всеки корен на единицата (без самата нея), независимо дали е примитивен или не.
Идеята е, че най-късото растояние от точка до окръжност е растоянието от самата точка до пресечената точка на окръжността с отсечката, която свързва първата точка и центъра на окръжността.1

Тогава:

(14)
\begin{align} | \Phi_n(q) | = \Big| \prod (q - \xi_i) \Big| > \prod_{i = 1}^{\varphi(n)} |q - 1 | = |q - 1|^{\varphi(n)} = (q - 1)^{\varphi(n)} \geq q - 1 \end{align}
(15)
\begin{align} \Longrightarrow \Phi_n(q) \nmid q-1 \end{align}

Втори случай: $n = 2$
$\Longrightarrow \Phi_2(x) = x + 1$

Тогава $\Phi_2(q) = q + 1$, което очевидно не дели $q - 1$.

/*ПП: не знам защо точно се разглеждат тези два случая, но се доверявам на доц. Великова :)*/ $\Box$

Твърдение

$\Phi_n (x)$ е неразложим полином с цели коефициенти.

Доказателство:
Приемаме го на доверие :))

Дефиниция (тяло)

Пръстен с единица, в който всеки ненулев елемент е обратим, наричаме тяло.2


Пример

Знаем за групата на кватернионите: $\{ \pm 1, \pm i, \pm j, \pm k \}$ (всъщност, знаем ли я?)
Кватернион в wikipedia

За тази група, знаем, че не е абелева, защото $ij = k = -ji$

Следното линейно пространство е нещо супер абстрактно (не че нещата дотук се срещат всеки ден в живота)

(16)
\begin{align} D = \{ a_0 + a_1i + a_2j + a_3k\ | \ a_i \in \mathbb{R} \} \end{align}

Непосредствено се проверяват всички условия, за да бъде $D$ пръстен, в който всеки ненулев елемент е обратим.
$D$ не е поле, тъй като нямаме комутативност! (понеже 'кватернионите' не комутират!)

Та.. $D$ се нарича тялото на кватернионите.

Друго нещо, с което $D$ е известно, е че е двумерно разширение на$\mathbb{C}$

(17)
\begin{align} D = \{ a_0 + a_1i + \underbrace{a_2j + a_3k}_{(a_2 + a_3i)j} \} \end{align}

Знаем, че

(18)
\begin{align} \mathbb{C} = \{ a_0 + a_1i | a_i \in \mathbb{R} \} \end{align}

Т.е всяко комплексно число е реално число + реално число*имагинерна единица

За елементите на $D$ можем да считаме, че са комплексно число + комлексно число*друга имагинерна единица

Теорема на Ведербърн (за крайните тела)

Нека $D$ е тяло и $|D| < \infty \Longrightarrow D$ е поле.

Всяко крайно тяло е поле.3

Доказателство:

Доказателството протича през няколко стъпки, които обхващат голяма част от материала до тук.

Припомням: център на пръстен/група е множеството от всички елементи, които комутират със всички останали (или, казано по друг начин, издържат на спрягане; т.е не се променят при спрягане с кой да е друг елемент).

(19)
\begin{align} \mathcal{Z} (D) = \{ a \in D\ |\ ax = xa \iff x^{-1}ax = a, \ \forall x \in D \} \end{align}

1. $\mathcal{Z}(D)$ поле. (Нека, за удобство, $\mathcal{Z}(D) = F$)

2. $D$ в линейно пространство над $F$

Освен това, $|D| < \infty \Longrightarrow \mathrm{dim}_{F} D = k \Longrightarrow |D| = |F|^k$

3. $F = \mathcal{Z}(D) \Longrightarrow \mathcal{Z}(D^*) = F^*$

Знаем, че $D^*$ е мултипликативната група на $D$.
$D^* = \{ a \in D\ |\ a -$ обратим $\}$

И, тъй като $D$ е тяло, то $D^* = D \setminus \{0\}$
Сега горното твърдение изглежда логично, нали? (дано!)

4. Разглеждаме действието на $D^*$ върху $D^*$ със спрягане.
Тогава $D^*$ се разбива по следния начин:

(20)
\begin{align} D^* = F^* + O(x_1) + O(x_2) + \dots + O(x_m) \end{align}

където $x_1, x_2, \dots, x_m$ - по един представител от всяка орбита с дължина, по-голяма от 1.

Следователно, е изпълнено, че:

(21)
\begin{align} |D^*| = |F^*| + \sum_{i = 1}^{m} |O(x_i)| = |F^*| + \sum_{i = 1}^{m} |D^*:C_{D^*}(x_i)| \end{align}

Тук с $C_{D^*}(x_i)$ е означен е центализаторът(стабилизаторът) на $x_i$ относно групата $D^*$ при действието чрез спрягане.

(22)
\begin{align} C_{D}(x) = \{ z \in D\ |\ x^{-1}zx = z \} \end{align}

Очевидно $C_D (x) \subset \mathcal{Z}(D)$
Освен това, ако $z_1,\ z_2 \in C_{D}(x)$, то:

  1. $(z_1 \pm z_2)x = z_1x \pm z_2x = xz_1 \pm xz_2 = x(z_1 \pm z_2) \Longrightarrow z_1 \pm z_2 \in C_D (x)$
  2. $(z_1z_2)x = z_1(z_2x) = z_1(xz_2) = (z_1x)z_2 = x(z_1z_2) \Longrightarrow z_1z_2 \in C_D (x)$
  3. $z_1x = xz_1 \Rightarrow z_1x{z_1}^{-1} = x \Rightarrow x{z_1}^{-1} = {z_1}^{-1}x \Longrightarrow {z_1}^{-1} \in C_D (x)$

$\Longrightarrow C_D(x)$ е тяло.

6. Нека $|F| = q \Longrightarrow |F^*| = q - 1$

Освен това,

(23)
\begin{align} D^* = |F|^k - 1 = q^k - 1 = q - 1 + \sum_{i = 1}^m \frac{q^k - 1}{q^{s_i} - 1}, \ |C_D (x_i)| = q^{s_i}, \ s_i | k \end{align}

//малко ми е мъгла тук

(24)
\begin{eqnarray} & & \Phi_k (q) | q^k - 1 \\ & & s_i | k \Longrightarrow \Phi_k(q) \bigg| \frac{q^{k-1}}{q^{s_i} - 1} \\ & & \Longrightarrow \Phi_k(q) \bigg| (q^k - 1) - \sum_{i=1}^m \frac{q^k - 1}{q^{s_i} - 1} \\ & & \Longrightarrow \Phi_k (q) | q - 1 \\ & & \Longrightarrow k = 1 \\ \end{eqnarray}

Т.е получихме, че $\mathrm{dim}_F D = 1 \Longrightarrow F = D \Longrightarrow D$ е поле. $\Box$

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License