Тема 15

Делимост на полиномите над поле. Най-голям общ делител при полиноми.


страницата се нуждае от дописване/преглеждане


Делимост на полиноми

Дефиниция

Нека $f, g \in F[x],\ F$ е поле.
Казаме, че полиномът $g$ дели полинома $f$, когато $f = g.h, \ h \in F[x]$

Записваме $g | f$.


Свойства

  1. $f|f, \ f | \alpha f, \ f | gf$
  2. $g | f, \ f | g \Longrightarrow g = \alpha f, \ \alpha \in F*$
  3. $f | g, \ g | h \Longrightarrow f | h$
  4. $f | g_1, \ f | g_2 \Longrightarrow f | (u_1g_1 + u_2g_2)$
  5. $f | 0$
  6. $f | g$ и $g \neq 0 \Longrightarrow \mathrm{deg}\ f \leq \mathrm{deg}\ g$

Най-голям общ делител на полиноми (дефиниция)

Нека $F$ е поле и $f, \ g \in F[x]$, като $f(x) \neq 0$ или $g(x) \neq 0$
Най-големият общ делител на $f$ и $g$ е $d \in F[x]$, такъв, че:

  1. $d | f$ и $d | g$
  2. ако $d_1 | f$ и $d_1 | g$, то $d_1 | d$

Записваме НОД$(f, g) = (f, g) = d$

Забележка: НОД на два полинома не е единствен!

Ако $d = (f, g)$ и $t = (f, g)$, то $d = \alpha t, \alpha \in F*$

Теорема (на Безу за полиноми)

Нека $F$ е поле и $f, \ g \in F[x]$, като $f \neq 0$ или $g \neq 0$

$\Longrightarrow \exists \ d = (f, g)$ и $\exists u, v \in F[x]$, такива че $d = uf + vg$

Доказателство:
Вземаме си идеала

(1)
\begin{align} I = \{ uf + vg | u,\ v \in F[x] \} = (f) + (g) \blacktriangleleft F[x] \end{align}

$I \neq \{ 0 \}$

Нека $d = u_1f + v_1g$ и $I = (d)$ ($I$ е главен)

Ще докажем, че $d = (f, g)$

$f = f.1 + g.0 \in I \Longrightarrow d | f$
$g = f.0 + g.1 \in I \Longrightarrow d | g$
Ако $t | f$ и $t | g \Longrightarrow t | (u_1f + v_1g) \Longrightarrow t |d$

$\Longrightarrow d = (f, g)$

Алгоритъм на Евклид за намиране на НОД(f, g):

Дадено: $f, \ g \in F[x], \ g \neq 0$

Резултат: $d \in F[x], \ d = (f, g)$

Процедура:

От теоремата за деление с частно и остатък на полиноми:

$f = q_1g + r_1, \ \mathrm{deg}\ r_1 < \mathrm{deg}\ g$

НОД$(f, g)$ = НОД $(g, r_1)$

Ако $r_1 = 0$, то НОД$(f, g) = g$
Иначе, ако $r_1 \neq 0$, то $g = q_2r_1 + r_2$, като $\mathrm{deg}\ r_2 < \mathrm{deg}\ r_1$
НОД$(g, r_1)$ = НОД $(r_1, r_2)$

Ако $r_2 = 0 \Rightarrow d = r_1$
Иначе: процесът се повтаря.

Ясно е, че имаме краен брой стъпки, т.е. на някоя стъпка ще получим нулев остатък.
Най-големият общ делител ще е последният ненулев остатък.

Взаимно прости полиноми (дефиниция)

Два полинома $f$ и $g$ се наричат взаимно прости, ако НОД$(f, g) = 1$

/* Пораждат взаимно прости идеали */


Твърдения

Нека $F$ е поле и $f, g \in F[x]$, като НОД$(f, g) = 1$

Тогава:

  1. $f | h, \ g | h \Longrightarrow fg | h$
  2. $f | gt \Longrightarrow f | t$
Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License