Tema 13

Китайска теорема за Остатъци.

Прости и максимални идеали

Първо ще дефинираме няколко операции между идеали.

Сечение на идеали

Нека $I, J \blacktriangleleft K$. Тогава

(1)
\begin{align} I \cap J \blacktriangleleft K \end{align}

Сума на идеали

Нека $I, J \blacktriangleleft K$. Тогава

(2)
\begin{align} I + J = \{ a + b | a \in I \And b \in J \} \blacktriangleleft K \end{align}

Произведение на идеали

Нека $I, J \blacktriangleleft K$. Тогава

(3)
\begin{align} IJ = \{a_1b_1 + a_2b_2 + \cdots + a_sb_s | a_i \in I \And b_i \in J \And s \in \mathbb N \} \blacktriangleleft K \end{align}

Прост идеал

Дефиниция: Нека $I \blacktriangleleft K$. Ако $a, b \in K$ и от $a.b \in I$ следва, че $a \in I$ или $b \in I$, наричаме $I$ прост идеал.

Пример

Да разгледаме пръстена $\mathbb Z$ и идеала породен от цяло число: $I = (u) \quad u \in \mathbb Z$.
Ако $a, b$ са произволни цели, то $a.b \in I \iff u / a.b$. Е да, обаче ако $u$ е просто число, това е равносилно на $u / a$ или $u / b$. По дефиниция идеала $I = (u)$ е прост.
Забележка: Термина прост идеал е произлязъл именно от аналогията с простите числа.

Максимален идеал

Дефиниция: Нека $I \blacktriangleleft K$. Ако $\forall J \blacktriangleleft K$ е изпълнено, че от $I \subsetneq J$ следва $J = K$, то $I$ наричаме максимален идеал.

Теорема за връзката на вида идеал с факторгрупата породена от него

Дефиниция: Комутативен пръстен, в който няма делители на нулата се нарича област на цялост.
Теорема: Нека $K$ е комутативен пръстен с 1, и нека $I \blacktriangleleft K$. Тогава:

  1. $I$ е прост идеал т.с.т.к. $K/I$ е област на цялост.
  2. $I$ е максимален идеал т.с.т.к $K/I$ е поле.

Взаимно прости идеали

Дефиниция (взаимно прости идеали)

Нека $K$ е комутативен пръстен с $1$. Нека $I, J \blacktriangleleft K$. Тогава наричаме $I, J$ взаимно прости, ако $I + J = K$.
Забележка: При целите числа имаме $(a, b) = 1$, т.г.с.т. $ua + vb = 1$ за някои цели $u, v$. Изказано на езика на идеалите: $(a) + (b) = \mathbb Z$ (защото сбор на идеали е идеал и очевидно $1$ принадлежи на идеала, следователно съвпада с пръстена).

Твърдение

Нека $I, J \blacktriangleleft K$. Да се докаже, че

(6)
\begin{align} IJ \subseteq I \cap J \subseteq I + J \end{align}

Задачка

Да разгледаме комутативния пръстен с $1$ - $\mathbb Z$. Да се намерят идеали $I = (n)$, $J = (k)$ идеали, такива че $IJ \ne I\cap J \ne I+J$.
Решение:
Не е трудно да се провери, че:

(7)
\begin{eqnarray} (ab) &=& IJ \\ ([a, b]) &=& I \cap J \\ ((a,b)) &=& I + J \\ \end{eqnarray}

като $[a,b]$ е НОК на числата. Сега просто трябва да изберем подходящи числа: ами трябва да не са взаимно прости (чупи се първата част) и трябва да са различни (чупи се втората). Така стигнахме до (примерно) $k = 2 \And n = 4$:

(8)
\begin{eqnarray} IJ &=& (8) \\ I\cap J &=& (4) \\ I+J &=& (2) \\ \end{eqnarray}

Китайска теорема за остатъци

Нека $K$ е комутативен пръстен с $1$. Нека $I_1, I_2, \cdots, I_n \blacktriangleleft K$ са взаимно прости идеали на $K$ : $I_j + I_k = K$. Нека $x_i \in K$ са произволни елементи. Ще докажем, че съществува $a \in K$, такова че:

(9)
\begin{array} {rcl} a &\in& x_1 + I_1 \\ a &\in& x_2 + I_2 \\ &\vdots& \\ a &\in& x_n + I_n \\ \end{array} \iff \begin{array}{rcl} x_1 &\in& a+I_1 \\ x_2 &\in& a+I_2 \\ &\vdots& \\ x_n &\in& a+I_n \\ \end{array}

Оригинален вид

Естествено, горната теорема е перфектна за впечатляване на колежки, но по-опростеният вариант също не е за изпускане.
Това е КТО, както е била известна през трети век на китайците:

Дадени са $n_1, n_2, \cdots , n_k$ естествени числа, всеки две от които са взаимно прости. Тогава, за всеки $a_1, a_2, \cdots , a_k$ цели числа системата:

(16)
\begin{eqnarray} x & \equiv & a_1 \pmod{n_1} \\ x & \equiv & a_2 \pmod{n_2} \\ & \cdots & \\ x & \equiv & a_k \pmod{n_k} \\ \end{eqnarray}

Има решение. Нещо повече, системата има единствено решение $x_0$ в интервала $[0, a_1 a_2 \cdots a_k)$ и всяко друго нейно решение има вида $x_0 + m * a_1 a_2 \cdots a_k$ за някое цяло m.
Ето една задача, чието решение изисква да се използват делимости и КТО.

Директна сума на пръстени

Дефиниция

Нека $K, M$ са пръстени. Дефинираме операцията $\oplus$:

(17)
\begin{align} K \oplus M = \{ (a, b) | a \in K \And b \in M \} \end{align}

Като в това множество дефинираме операции събиране и умножение :

(18)
\begin{eqnarray} (a, b) + (c, d) &=& (a + c, b + d) \\ (a, b) . (c, d) &=& (a.c, b.d) \end{eqnarray}

Твърдение

Нека $K$ е комутативен пръстен с 1, и $I_1, I_2, \cdots, I_n$ са негови взаимно прости идеали. Тогава:

(19)
\begin{align} K / \bigcap_{s=1}^{n} I_s \cong (K / I_1) \oplus (K / I_2) \oplus \cdots \oplus (K / I_n) \end{align}
Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License