Тема 12

Поле от частни


страницата се нуждае от дописване/преглеждане


Делител на нулата (дефиниция)

Нека $A$ е пръстен. Елементът $a \in A, \ a \neq 0$ наричаме делител на нулата, ако $\exists b \in A, \ b \neq 0: \ ab = 0$

Област на цялост (дефиниция)

Нека $A$ е комутативен пръстен с единица.
Ако $A$ няма делители на нулата, казваме, че $A$ е област (на цялост).1


Примери:

Пример 1:
Множеството от целите числа $\mathbb{Z}$ е област на цялост.

Ако $a, \ b \in \mathbb{Z}$, знаем, че $ab = 0 \iff a = 0$ или $b = 0$, т.е. $\mathbb{Z}$ действително няма делители на нулата.
И също така знаем, че пръстенът на целите числа е комутативен пръстен. $( a.b = b.a, \ \forall a, \ b \in \mathbb{Z} )$

И, следователно, $\mathbb{Z}$ е област на цялост.

Пример 2:

Пръстенът с елементи множествата остатъци по модул 6, $Z_6$, не е област на цялост.

Това е така, тъй като, например, $\overline{2} \neq \overline{0}$ и $\overline{3} \neq \overline{0}$, но $\overline{2} . \overline{3} = \overline{6} = \overline{0}$.

Демек $Z_6$ има делители на нулата и, следователно, не е област.

Дефиниция (влагане)

Нека $A$ е област на цялост и $B$ е поле. Ако съществува изображение:

(1)
\begin{align} \varphi : A \to B \end{align}

където $\varphi$ е инекция и хомоморфизъм, то казваме, че областта на цялост $A$ се влага в полето $B$.

Теорема

Нека $A \neq \varnothing$ е ненулева област на цялост.
Тогава съществува поле, в което $A$ се влага.

Доказателство:

0. Идея: Доказателството на теоремата е изключително дълго и глупаво. В смисъл, че се доказват много очевидни неща. Ключовото в такива доказателства е да разберете основните стъпки през които се минава. Веднъж запомните ли самите стъпки (мислете си го като междинните градове докато пътувате от София за Варна) можете сами да ги направите. Например стъпка от сорта - трябва да се докаже, че $X$ е поле е тривиална - или ще използваме дефинициите за поле (това трябва да го знаем) или теоремката за подполе (т.е да докажем, че $X$ е подполе на нещо друго). Проверката на самата дефиниция или необходимите условия за теоремата са сами по себе си тривиални - всеки може да ги направи по всяко време, не е нужно да се зубри ред по ред.
Та това доказателство ще протече в следните стъпки:

  1. Ще си построим полето $B$. Всъщност това поле много прилича на полето $\mathbb{Q}$ - елементи имащи числител и знаменател, които обаче не са цели числа, а са от произволна обляст на цялост $A$. За да направим това трябва:
    1. да си построим 'всички дроби' (ще наричаме базово множество) - $B_0$
    2. да въведем еквивалентност между тях - т.е да дефинираме някак че $\frac{1}{2}$ и $\frac{2}{4}$ са едно и също нещо
    3. да построим множество $B$ от класовете на еквивалентност на горната релация, и да въведем подходящи обратими операции за събиране и умножение
    4. да докажем, че така построеното множество с така въведените операции е поле
  2. Ще докажем, че $A$ се влага в $B$:
    1. ще си построим изображение $\varphi : A \to B$, ще докажем че е коректно
    2. ще докажем инекция (т.е на различни елементи съпоставяме различни)
    3. ще докажем хомоморфизъм (запазва операцията)

1. Построяване на поле $B$:
1.1 Построяване на базовото множество $B_0$:
Нека $\tilde{A} = A \setminus \{0\}$. Ще използваме $\tilde{A}$ за множеството, от което ще избираме знаменатели на нашите дроби (както знаете - знаменателите не могат да бъдат 0).
Дефинираме си $B_0$ като скаларно произведение на $A$ и $\tilde{A}$ (или по друг начин казано - множ. от наредени двойки с първи елемент от $A$ и втори елемент от $\tilde{A}$):

(2)
\begin{align} B_0 = A \times \tilde{A} = \{ (x,y) \ | \ x \in A, \ y \in \tilde{A} \} = \{ (x,y) \ | \ x,y \in A, \ y \neq 0 \} \end{align}

1.2 Въвеждаме релация на еквивалентност в $B_0$:
1.2.0 Дефиниция на релацията
Нека $(x,y)$ и $(x_1, y_1)$ са произволни елементи от $B_0$. Казваме, че те са еквивалентни, ако $xy_1 = x_1y$. (За да се сещате по-лесно си мислете за дроби, и кога те са еднакви). Отбелязваме:

(3)
\begin{align} (x,y) \sim (x_1, y_1) \iff xy_1 = x_1y \end{align}

1.2.1 Доказателство, че е релация на еквивалентност:
Ние хубаво я въведохме, но трябва да покажем, че $\sim$ наистина е релация на еквивалентност. Както добре знаем от курса по дискретна математика, релация на еквивалентност е просто една рефлексивна, симетрична и транзитивна релация. Ще докажем трите подред:
1.2.1.1 Рефлексивност:
Очевидно $(x,y) \sim (x,y)$, защото $xy = xy$.
1.2.1.2 Симетричност:
Ако $(x, y) \sim (x_1, y_1)$, тогава $xy_1 = x_1y$, следователно и $(x_1, y_1) \sim (x, y)$. (т.е от $(x, y) \sim (x_1, y_1) \Rightarrow (x_1, y_1) \Rightarrow (x, y)$).
1.2.1.3 Транзитивност:
Сега ще покажем, че ако $(x,y) \sim (x_1, y_1)$ и $(x_1, y_1) \sim (x_2, y_2)$, то $(x,y) \sim (x_2, y_2)$.
Имаме, че $xy_1 = x_1y$ и $x_1y_2 = x_2y_1$ (използвайки дефиницията и даденото).
Умножаваме първото уравнение с $y_2 \neq 0$, а второто - с $y \neq 0$. Така получаваме, че $xy_1y_2 = x_1yy_2$ и $x_1y_2y = x_2y_1y$.
Тъй като $A$ е комутативен пръстен $\Longrightarrow x_1yy_2 = x_1y_2y$ (просто разместваме буквите). Следователно и другите страни на равенството са еднакви: $xy_1y_2 = x_2y_1y$ или записано по друг начин $xy_1y_2 - x_2y_1y = 0$. Изнасяме $y_1$ пред скоби: $y_1xy_2 - y_1x_2y = y_1(xy_2 - x_2y) = 0$. И понеже, $y_1 \neq 0$ и в $A$ няма делители на нулата, следователно $xy_2 - x_2y = 0$, т.е $xy_2 = x_2y$. Сега според дефиницията $(x,y) \sim (x_2, y_2)$, с което доказахме, че релацията е транзитивна.

От 1.2.1[1-3] следва, че $\sim$ е релация на еквивалентност.

1.3 Разбиване на класове на еквивалентност и въвеждане на подходящи операции:
1.3.1 Разбиване на класове:
Пак от теорията за релации на еквивалентност имаме, че множество с такава релация се разбива на класове на еквивалентност, т.е елементите се разбиват на групички, като във всяка група елементите са еднакви помежду си (т.е елементите са в релацията $\sim$ помежду си). Ще бележим класовете на еквивалентност с квадратни скоби:

(4)
\begin{align} [x, y] = \{ (a,b) \ | \ (a,b) \sim (x,y) \} \end{align}

Време е да построим и множеството от самите класове на еквивалентност, т.е множество, в което всеки клас е елемент (нали не забравяте, че класовете са някаква съвкупност от еднакви елементи):

(5)
\begin{align} B = \{ [x, y] \ | \ x, y \in A, \ y \neq 0 \} \end{align}

1.3.2 Въвеждане на операции в $B$:
Тъй като в следващата точка ще доказваме, че $B$ е поле, първо ще трябва да дефинираме подходящи операции между елементите му:
1.3.2.1 Събиране:

(6)
\begin{equation} [x,y] + [z,t] = [xt + zy, yt] \end{equation}

1.3.2.2 Умножение:

(7)
\begin{equation} [x,y].[z,t] = [xz, yt] \end{equation}

1.3.3 Бинарност и Коректност на операциите:
Дефиницията на една операция, сама по себе си не ни дава нищо - трябва да докажем поне че е бинарна и коректна.
1.3.3.1 Бинарност на операциите: Ще докажем, че резултата от операциите винаги е от множеството $B$.
1.3.3.1.1 Бинарност на събирането: Не е трудно да се провери, че $xt + zy \in A$, ако $x, y, z, t \in A$, както и че $yt \ne 0$, защото имаме произведение на ненулеви елементи в област на цялост, следователно $xy + zt \in A \And yt \in \tilde{A}$, т.е $[xt + zy, yt] \in B$.
1.3.3.1.2 Бинарност на умножението: Аналогично $xz \in A$ и $yt \in \tilde{A}$, следователно $[xz, yt] \in B$.
1.3.3.2 Коректност на операциите:
Тъй като в случая имаме класове на еквивалентност, които бележим с произволен представител - т.е класа $[x, y]$, може да е абсолютно еднакъв с класа $[x_1, y_1]$, стига $(x, y) \sim (x_1, y_1)$ и точно за това трябва да покажем, че независимо от избора на представител за изобразяване на класа, горните две операции връщат един и същи резултат (т.е няма да се окаже, че $\frac{1}{2} + \frac{1}{2} = 1$, а пък $\frac{1}{2} + \frac{2}{4} = \frac{3}{8}$ примерно).
Ами нека да си изберем представителите $(x_1, y_1)$ и $(x_2, y_2)$ от класа $[x, y]$, както и $(z_1, t_1), (z_2, t_2)$ от класа $[z, t]$.
1.3.3.2.1 Коректност на събирането: Сега да пресметнем $[x, y] + [z, t]$ като използваме първо първите представители, после вторите:

(8)
\begin{eqnarray} & & [ x_1, y_1 ] + [ z_1, t_1 ] = [ x_1t_1 + z_1y_1, y_1t_1 ] \\ & & [ x_2, y_2 ] + [ z_2, t_2 ] = [ x_2t_2 + z_2y_2, y_2t_2 ] \\ \end{eqnarray}

Сега ще докажем, че $[ x_1t_1 + z_1y_1, y_1t_1 ] = [ x_2t_2 + z_2y_2, y_2t_2 ]$. Това е еквивалентно на $(x_1t_1 + z_1y_1)(y_2t_2) = (x_2t_2 + z_2y_2)(y_1t_1)$.

(9)
\begin{eqnarray} (x_1t_1 + z_1y_1)(y_2t_2) &=& (x_2t_2 + z_2y_2)(y_1t_1) \iff \\ x_1t_1y_2t_2 + z_1y_1y_2t_2 &=& x_2t_2y_1t_1 + z_2y_2y_1t_1 \iff \\ (x_1y_2 - x_2y_1)t_1t_2 &+& (z_1t_2 - z_2t_1)y_1y_2 = 0 \Longleftarrow\\ x_1y_2 = x_2 y_1 & & z_1t_2 = z_2t_1 \iff \\ (x_1, y_1) \sim (x_2, y_2) & & (z_1, t_1) \sim (z_2, t_2) \end{eqnarray}

Обърнете внимание на предпоследния ред:стрелката следователно(не еквивалентно!!) е на обратно,за да имаме вярно твърдение.
Както виждате, ако вземем различни представители на един и същи клас получаваме, че сумата им също попада в един и същи клас. Следователно дефиницията на събирането е коректна.

1.3.3.2.2 Коректност на умножението:

(10)
\begin{eqnarray} & & [ x_1, y_1 ].[ z_1, t_1 ] = [ x_1z_1, y_1t_1 ] \\ & & [ x_2, y_2 ].[ z_2, t_2 ] = [ x_2z_2, y_2t_2 ] \\ \end{eqnarray}
(11)
\begin{eqnarray} [ x_1z_1, y_1t_1 ] &=& [ x_2z_2, y_2t_2 ] \iff \\ x_1z_1y_2t_2 &=& x_2z_2y_1t_1 \iff \\ (x_1y_2)(z_1t_2) &=& (x_2y_1)(z_2t_1) \Leftarrow \\ (x_1, y_1) \sim (x_2, y_2) & & (z_1, t_1) \sim (z_2, t_2) \end{eqnarray}

С това доказахме, че операциите събиране и умножение са бинарни (резултата е в $B$) и коректно дефинирани (при едни и същи аргументи връщат едни и същи резултати).

1.4 Доказателство, че $B$ с така дефинираните операции е поле:
Ще използваме дефиницията на поле, защото няма подходящо 'надполе', което да използваме (т.е да докажем някак си че сме му подполе).

2. Доказателство, че $A$ се влага в $B$:
Както се вижда ясно от дефиницията, нужно ни е инективно изображение от $A$ към $B$, което е хомоморфизъм.
2.1 Дефиниране на изображението:
Нека да си дефинираме изображението $\varphi$ по следния начин:

(21)
\begin{eqnarray} \varphi &:& A \to B \\ \varphi(a) &=& [a, 1] \end{eqnarray}

На елемент от $A$ съпоставяме елемент от $B$ по следния начин:

(22)
\begin{align} \varphi(a) = [ax, x], \ x \in A \end{align}

2.1.0 Коректност на дефиницията:

(23)
\begin{eqnarray} \varphi(a_1) &=& \varphi(a_2) \iff \\ {}[a_1, 1] &=& [a_2, 1] \iff \\ a_1.1 &=& a_2.1 \iff \\ a_1 &=& a_2 \iff \\ \end{eqnarray}

2.2 Инекция: Трябва да докажем, че $a_1 \ne a_2 \iff \varphi(a_1) \ne \varphi(a_2)$. Това е абсолютно равносилно на $a_1 = a_2 \iff \varphi(a_1) = \varphi(a_2)$, което доказахме в 2.1.0 коректност.
2.3 Хомоморфизъм:
2.3.1 Хомоморфизъм на събирането:

(24)
\begin{eqnarray} \varphi(a_1 + a_2) &=& [a_1 + a_2, 1] \\ &=& [a_1.1 + a_2.1, 1.1] \\ &=& [a_1, 1] + [a_2, 1] \\ &=& \varphi(a_1) + \varphi(a_2) \end{eqnarray}

2.3.2 Хомоморфизъм на умножението:

(25)
\begin{eqnarray} \varphi(a_1 . a_2) &=& [a_1.a_2, 1] \\ &=& [a_1.a_2, 1.1 ] \\ &=& [a_1,1].[a_2, 1] \\ &=& \varphi(a_1).\varphi(a_2) \end{eqnarray}

С това доказахме, че $A$ се влага в $B$.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License