Тема 11

Характеристика на поле. Просто поле.


страницата се нуждае от дописване/преглеждане


Характеристика

Дефиниция: Нека $F$ е поле и $e$ е произволен елемент от него, а $k$ е естествено число. Тогава казваме, че:

(1)
\begin{align} \underbrace{e + e + \cdots + e}_k = ke \end{align}

е k-кратно на елемента e.

Дефиниция (Характеристика)

Нека $F$ е поле и $e \in F$ е произволен елемент в него. Характеристика на поле наричаме минималния брой пъти $k$ които трябва да прибавим $e$ със себе си така че да се получи $0$ (минималното $k$, за което $k$-кратното на $e$ е равно на $0$).

(2)
\begin{align} ke = \underbrace{e + e + \cdots + e}_{k} = 0 \end{align}

Бележим $\mathrm{char}\ F = k$. Ако такова $k$ не съществува (т.е колкото и пъти да прибавяме $e$ със себе си винаги получаваме различно от $0$), тогава казваме, че характеристиката му е $0$.

Забележка: По принцип характеристика се дефинира за пръстен. И елементът е не кой да е - а точно единицата на пръстена. Разбира се в нашите дефиниции пръстенът си няма единица. Според уикипедиа това въобще не е пръстен (Ring) ами е Rng (без identity element, i). Но както и да е :) Ако пръстенът има единица все пак тривиално се вижда (заради дистрибутивния закон), че горната дефиниция е еквивалентна на дефиницията, при която вместо $e$ се използва именно единицата.

Теорема

Нека $F$ е поле с ненулева характеристика : $\mathrm{char}\ F = k \ne 0$. Тогава $k$ е просто число.

Доказателство: Ами да допуснем, че числото не е просто. Тогава съществува разлагане $k = m.s$ където $1 < m, s < k$. Тогава:

(3)
\begin{align} 0 = k1 = \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{m.s} = \underbrace{(1 + 1 + \cdots + 1)}_{m}\underbrace{(1 + 1 + \cdots + 1)}_{s} = (m1) . (s1) \end{align}

Т.е получихме, че $0 = (m1) . (s1)$, при това $m1$ и $s1$ са различни от $0$, защото $k$ е най-малкото такова. Т.е получихме, че $m1$ и $s1$ са делители на $0$, което очевидно е невъзможно в поле (или си обратим, или си делител на нулата - такива са законите на джунглата - в полетата няма място за делители на нулата :)).

Забележка 2: Много работи трябва да се забелязват тук - k-кратно на елемент е абсолютната помия, особено ако има и операция умножение наоколо. Като цяло ще гледаме да пишем точка, когато имаме умножение и без точка, когато имаме k-кратно. Например $m1$ е елемент от полето, защото сумираме краен брой пъти елементи, и сумата на 2 елемента е в полето (а не защото произведението на 2 елемента е в полето - просто тука няма произведение).

Просто поле

Дефиниция (Просто поле)

Просто поле ще наричаме поле, което няма собствени подполета.

Теорема

Всяко поле съдържа единствено просто подполе.
Доказателство: Нека $F$ е поле, а $U=\{\mathbb U_1, \mathbb U_2, \mathbb U_3, ... \}$ ($U$ може да е безкрайно, ако $F$ е поле с безкрайна характеристика) е множество, образувано от всички подполета на $F$. Да образуваме сечението на $\mathbb U_i$ (за - $i \in \{1, 2, 3, ...\}$) да го обозначим с $V$ (т.е $\cap \mathbb U_i = V$ - това са всички елементи, които участват едновременно във всички подполета на $F$). Ще докажем, че $V$ е подполе:

(4)
\begin{align} a, b \in V \Rightarrow \begin{cases} a - b \in V & \forall a, b \in V \\ a^{-1} \in V & \forall a \ne 0 \\ ab \in V & \forall a, b \in V \end{cases} \end{align}

Горните 3 твърдения следват непосредствено от доказаните в миналата глава свойства за поле (тук). Ако разсъждаваме за произволно подполе $X \in U$, тогава примерно $a - b \in X$ от твърдението приложено за полето $X$. Това е вярно за всяко подполе от $U$, следователно $a - b$ всъщност принадлени на сечението им - т.е на $V$.
Сега прилагаме в обратната посока същото твърдение за $V$ и получаваме, че $V$ е подполе на $F$.

Сега ако допуснем, че $V$ не е просто подполе, ще излезе че съществува подполе на $V$ - нека го наречем $V'$, и разбира се $V' \subseteq V$. Но $V'$ е подполе и на $F$, следователно $V' \in U$. Т.е получихме, че $\cap \mathbb U_i = V \subseteq V'$. Окончателно получаваме, че $V' = V$, т.е $V$ няма същинско подполе, следователно $V$ е просто подполе. Job done.

Теорема (класификация на простите полета)

Нека $F$ е просто поле.

  1. ако $\mathrm{char}\ F = 0$, следователно $F \cong \mathbb Q$
  2. ако $\mathrm{char}\ F = p$, следователно $F \cong \mathbb Z_p$

Доказателство:
Само искам да вметна - тука яко се объркват умножението със k-кратното. Моля всеки читател да чете внимателно - ще пиша какво се опитваме да правим - ако някой не разбира може да пробва да си го разпише сам (стига разбира се да знае какво се опитваме да докажем).

1. $\mathrm{char}\ F = 0 \Longrightarrow F \cong Q$
Щом ще доказваме изоморфизъм на две полета се нуждаем от функция (още - изображение) между 2те множества, която е едновременно биекция и хомоморфизъм.
1.1 Функцията
Нека $\varphi : \mathbb{Q} \to F$ е такава, че:

(5)
\begin{align} \varphi\left(\frac{m}{n}\right) = (m1).(n1)^{-1} \end{align}

1.1.1 Коректност на функцията
Ние хубаво я дефинирахме, ама сега трябва да докажем, че дефиницията е коректна - т.е че $\varphi(a) = \varphi(b)$, когато $a = b$ (т.е ако подаваме еднакви аргументи на функцията очакваме да получим еднакви резултати). Тук става интересно, защото едно рационално число $\frac{m}{n}$ може да бъде записано по няколко начина - примерно $\frac{1}{2} = \frac{2}{4}$. Трябва да докажем именно, че различни записи на числото биха дали еднакви стойности на функцията (защото очевидно функцията зависи от това кой запис е избран (или поне така изглежда на пръв поглед)).
Да проверим кога две функционални стойности съвпадат. Нека

(6)
\begin{eqnarray} \varphi\left(\frac{m}{n}\right) &=& (m1).(n1)^{-1} \\ \varphi\left(\frac{a}{b}\right) &=& (a1).(b1)^{-1} \\ (m1).(n1)^{-1} &\overset{\underset{?}{}}=& (a1).(b1)^{-1} \\ \end{eqnarray}

Ще запишем с поредица от еквивалентности:

(7)
\begin{eqnarray} (m1).(n1)^{-1} &=& (a1).(b1)^{-1} \quad \iff \\ (m1).(b1) &=& (a1).(n1) \quad \iff \\ ((m.b) 1) &=& ((a.n) 1) \quad \iff \\ (m.b - a.n) 1 &=& 0 \quad \iff \\ m.b - a.n &=& 0 \quad \iff \\ m.b &=& a.n \\ \end{eqnarray}

Тук използвахме комутативността на полето (първи ред) и още някои очевидни неща свързани с кратност на елемент.
Сега вече не е трудно да се види, че

(8)
\begin{align} \frac{m}{n} = \frac{a}{b} \iff m.b = a.n \iff \varphi\left(\frac{m}{n}\right) = \varphi\left(\frac{a}{b}\right) \end{align}

С това доказахме коректността на функцията. Ако още спите - доказахме и че е инективна (използваме горната връзка в обратната посока).
1.2 Хомоморфизъм
Всъщност трябва да докажем следните работи:

(9)
\begin{eqnarray} \varphi(x + y) &=& \varphi(x) + \varphi(y) \\ \varphi(xy) &=& \varphi(x)\varphi(y) \\ \end{eqnarray}

за произволни $x, y \in \mathbb{Q}$. Ще караме подред, без паника
1.2.1 Хомоморфизъм на събирането:
Ще разпишем $\varphi\left(\frac{m}{n} + \frac{a}{b}\right)$, като целта ще бъде да го добутаме до $\varphi\left(\frac{m}{n}\right) + \varphi\left(\frac{a}{b}\right)$. Затегнете колани:

(10)
\begin{eqnarray} \varphi\left(\frac{m}{n} + \frac{a}{b}\right) &=& \varphi\left(\frac{m.b + a.n}{n.b}\right) \\ &=& ((m.b + a.n) 1).((n.b) 1)^{-1} \\ &=& [((m.b) 1) + ((a.n) 1)][(n 1).(b 1)]^{-1} \\ &=& [(m 1).(b 1) + (a 1).(n 1)][(b 1)^{-1}.(n 1)^{-1}] \\ &=& (m 1).(b 1).(b 1)^{-1}.(n 1)^{-1} + (a 1).(n 1).(b 1)^{-1}.(n 1)^{-1} \\ &=& (m 1).(n 1)^{-1} + (a 1).(b 1)^{-1} \\ &=& \varphi\left(\frac{m}{n}\right) + \varphi\left(\frac{a}{b}\right) \end{eqnarray}

Не случайно ни наричат ФМИ - Факултет по Магичните Изкуства ;-)
1.2.2 Хомоморфизъм на умножението:
Сега пък ще разпишем $\varphi\left(\frac{m}{n}.\frac{a}{b}\right)$, като целта ще бъде да го добутаме до $\varphi\left(\frac{m}{n}\right) . \varphi\left(\frac{a}{b}\right)$. Ще го разпишем ама друг път! Я сядай и си го разписвай сам!
1.3 Биекция
1.3.1 Инекция
Доказателството на инекция е същото, като доказателството за коректност (или поне в доказателството за коректност правим и доказателство за инекция :)) - виж 1.1.1
1.3.2 Сюрекция
Тук ще играем малко нечестно. Ще докажем, че $\mathrm{Im}\ \varphi = F_1 \equiv F$. Ами от хомоморфизма и очевидната биекция между $\mathbb{Q}$ и $F_1$, заключваме, че $\mathbb Q \cong F_1$, следователно $F_1$ е поле. Освен това, от $\mathrm{Im}\ \varphi \subseteq F$ имаме, и че $F_1$ е подмножество на $F$. Т.е получихме, че $F_1$ e подполе на $F$. Е да, ама $F$ няма същински подполета, следователно $F_1 \equiv F$.1

С това изоморфизмът между $F$ и $\mathbb Q$ е доказан.

2 . $\mathrm{char}\ F = p \ne 0 \Longrightarrow F \cong \mathbb{Z}_p$
Тук доказателството ще въврви по подобен начин на горното. Ще създадем функция, между 2те полета и ще докажем биекция и хомоморфизъм:
2.1 Функцията
Дефинираме функцията $\psi$ по следния начин:

(11)
\begin{align} \psi : \mathbb{Z}_p \to F \quad \psi(\bar a) = \underbrace{1 + 1 + \cdots + 1}_{a} = a1 \end{align}

2.1.1 Коректност на функцията
Разбира се трябва да докажем, че функцията е дефинирана коректно. Поради естеството на доказателството парчето текст(/код :)) което пише тук ще се използва и при доказателството за инективност. Да разпишем с еквивалентности $\psi(\bar a) = \psi(\bar b)$:

(12)
\begin{eqnarray} \psi(\bar a) &=& \psi(\bar b) \iff \\ a1 &=& b1 \iff \\ |a - b| 1 &=& 0 \iff \\ p &/& a - b \\ a &\equiv& b \pmod{p} \iff \\ \bar a &=& \bar b \end{eqnarray}

в правата посока ($\Rightarrow$) това е доказателство за инекция, в обратната посока ($\Leftarrow$) това е доказателство за коректност на функцията.
2.2 Хомоморфизъм
Сега ще докажем, че функцията $\psi$ всъщност е хомоморфизъм (запазва операциите), което ще е ключовото и при доказателството на сюрективност (ще видиш по-долу).
2.2.1 Хомоморфизъм на събирането
Сега трябва да добутаме $\psi(\bar a + \bar b)$ до $\psi(\bar a) + \psi(\bar b)$:

(13)
\begin{eqnarray} \psi(\bar a + \bar b) &=& \psi(\overline{a + b}) \\ &=& (a + b)1 \\ &=& a1 + b1 \\ &=& \psi(\bar a) + \psi(\bar b) \\ \end{eqnarray}

Тук просто използвахме очевидно свойство на k-кратното.
2.2.2 Хомоморфизъм на умножението
Сега пък блъскаме $\psi(\bar a . \bar b)$ докато не заприлича на $\psi(\bar a).\psi(\bar b)$:

(14)
\begin{eqnarray} \psi(\bar a . \bar b) &=& \psi(\overline{a.b}) \\ &=& (a.b)1 \\ &=& (a1) . (b1) \\ &=& \psi(\bar a).\psi(\bar b) \\ \end{eqnarray}

както виждате пак използваме тривиално свойство на k-кратното.
2.3 Биекция
2.3.1 Инекция
Виж 2.1.1
2.3.2 Сюрекция
Да разгледаме функцията върху $H = \mathrm{Im}\ \psi : \psi : \mathbb{Z}_p \to \mathrm{Im}\ \psi$. Очевидно всичко доказано до сега важи за нея, освен това е и сюрективна. Сега ще докажем, че $H$ е поле.
Достатъчно е да проверим, че $a + (-b) \in H$, $a^{-1} \in H$ и $a.b \in H$ при $a, b \in H$ произволни. Разбира се операциите събиране, умножение взимане на обратен и противоположен, са същите, дефинирани в $F$. Ами щом $a, b \in H = \mathrm{Im}\ \psi$, то съществуват първообрази $a', b'$, такива че $\psi(a') = a$ и $\psi(b') = b$. Тогава:

  1. $a + (-b) = \psi(a') - \psi(b') = \psi(a' - b') \in \mathrm{Im}\ \psi = H$ - използваме хомоморфизма
  2. $a^{-1} = \psi(a')^{-1} = \psi(a'^{-1}) \in H$ - отново хомоморфизъм
  3. $a.b = \psi(a').\psi(b') = \psi(a'.b') \in H$ - от теоремата на Моор и законите за междупланетен свръхсветлинен превоз с понита.

Както виждате необходимите и достатъчни условия за подгрупа са изпълнени, и следователно $H < F$. Е да ама $F$ е просто поле (не е ходило в университет) следователно $E \equiv F$. Така показахме, че $\psi$ е сюрективна.

That's all folks!

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License