Тема 10

Идеали и факторпръстени. Теорема за хомоморфизмите при пръстени.

---

страницата се нуждае от дописване/преглеждане

---

За идеал ще използваме означението $\blacktriangleleft$; на лекции е писано $\vartriangleleft$, което някак си напомня за нормална подгрупа. Внимавайте на контролните/изпитите ;)

Идеал

Дефиниция (идеал)

Нека $K$ е пръстен и $\varnothing \ne I \subseteq K$.
Ще казваме, че $I$ е ляв (десен) идеал на $K$ и ще записваме $I \blacktriangleleft K$, ако:

1. $a - b \in I$, за всеки $a, b \in I$
2. $ka \in I$, за всяко $a \in I$ и $k \in K$ (за десен идеал е $ak \in I$)

Ако $I$ е едновременно ляв и десен идеал на $K$ ще казваме, че е двустранен идеал.

Забележка: На лекции преди дефиницията е направен един пример (първия пример по-долу). Това което си заслужава да се отбележи, е че идеалът е просто подпръстен, при който умножението 'работи' и с външни елементи. Т.е при подпръстен трябва просто умножение на 2 елемента от подпръстена да остава в подпръстена. При идеал се изисква умножение на произволен елемент от пръстена с елемент от идеала да остава в идеала (независимо дали ляво или дясно умножение - съответно ляв/десен идеал).

Пример - ядро на хомоморфизъм между пръстени

Нека $\varphi : K \to M$, където $K, M$ са пръстени, и $\varphi$ е хомоморфизъм.
Ще покажем, че $\mathrm{Ker}\ \varphi$ е идеал на $K$:
Нека $a, b \in \mathrm{Ker}\ \varphi$. Тогава $\varphi(a) = \varphi(b) = 0$. Освен това $\varphi(a - b) = \varphi(a) - \varphi(b) = 0 - 0 = 0$, следователно и $a - b \in \mathrm{Ker}\ \varphi$.
Нека $a \in \mathrm{Ker}\ \varphi \And x \in K$. Тогава $\varphi(xa) = \varphi(x).\varphi(a) = \varphi(x).0 = 0$, следователно $xa \in \mathrm{Ker}\ \varphi$. Същото е вярно и за $ax$.
Следователно $\mathrm{Ker}\ \varphi$ е двустранен идеал на $K$ - записваме $\mathrm{Ker}\ \varphi \blacktriangleleft K$.

Теорема (идеалите във Z)

Нека $\varnothing \ne I \blacktriangleleft \mathbb{Z}$. Тогава съществува $n \in \mathbb N$ : $I = n\mathbb Z$. (т.е всеки идеал в $\mathbb Z$ е от вида $n\mathbb{Z}$).
Доказателство:
Нека $\varnothing \ne I \blacktriangleleft \mathbb{Z}$.
Нека $d$ е минималният положителен елемент от $I$. Ще докажем, че $I = d\mathbb{Z}$.
Нека $a \in I$ е произволен. Да разделим с частно и остатък на $d$ : $a = qd + r$, където разбира се $0 \le r < d$.
Тъй като $r = a - qd$, и освен това $a \in I$, $qd \in I$ (защото $d \in I \And q \in \mathbb{Z}$). Тогава $r = a - qd \in I$. От избора на $d$ получаваме, че $r = 0$ (иначе би бил положителен, по-малък от $d$ в идеала). Получихме, че $d / a$, за всяко $a \in I$. Следователно $a \in d \mathbb{Z}$.
Т.е доказахме ,че $I \subseteq d\mathbb{Z}$.
Нека $x \in d\mathbb{Z}$ е произволен. Тогава той се представя като $dx'$. Но $dx' \in I$, защото $d \in I \And x' \in \mathbb{Z}$. Следователно $x \in I$. Така доказахме и $d\mathbb{Z} \subseteq I$.
Окончателно показахме $I = d\mathbb{Z}$.

Пример за идеал в поле

Да видим какво се случва, когато поискаме да имаме идеал $\varnothing \ne I$ в поле $K$.
Нека $a \in I$ е произволен. Тъй като $a^{-1} \in K$, то $a.a^{-1} \in I$. Тогава $1 \in I$. И сега вече за произволен елемент $x \in K$ имаме $x = 1.x \in I$ (защото $1 \in I$). Така получихме, че $I = K$ - т.е скучна работа (всеки идеал в поле е самото поле).

Дефиниция (главен идеал)

Нека $K$ е комутативен пръстен с единица.
Тогава множеството $\{ ax | x \in K \}$ за произволно $a$ ще наричаме главен идеал породен от a и ще го отбелязваме с $(a)$.

// тук все пак мисля трябва да се докаже, че дефиницията е коректна - т.е това наистина е идеал

Теорема

Нека $K$ е комутативен пръстен с единица. Ако $K$ няма идеали различни от $\{ 0 \}$ и $K$, то $K$ е поле.
Доказателство:
Нека $a \in K$ е произволен, ненулев елемент. Тогава $(a) = K$, защото е различен от $\{ 0 \}$.
От тук $1 \in (a)$. Следователно съществува елемент $x \in K$, такъв че $xa = 1$. Е да ама това значи, че $x = a^{-1}$ - т.е намерихме обратния на произволен ненулев елемент на $K$. Това, заедно с факта че $K$ е комутативен пръстен с 1 води до $K$ - поле.

Факторпръстен

Дефиниция (факторпръстен)

Нека $K$ е пръстен и нека $I \blacktriangleleft K$.
Дефинираме съседен клас на $I$ по отношение на събирането:

(1)

\begin{align} a + I = \{ a + x | x \in I \} \end{align}

От теорията за съседните класове получаваме, че $K$ може да бъде разбито на непресичащи се съседни класове (може безкраен брой):

(2)

\begin{align} K = I \cup (a_1 + I) \cup (a_2 + I) \cup \cdots \end{align}

Съответно записваме множеството от съседните класове като $K / I = \{ a + I | a \in K \}$ (същото означение като при факторгрупа - факторизираме пръстена $K$, по $I$). Та $K / I$ е факторпръстен, със операции: $(a + I) + (b + I) = (a + b) + I$ и умножение $(a + I).(b + I) = a.b + I$.

Доказателство: Трябва да докажем, че $K / I$ е пръстен.
1. Събиране
1.1 комутативност: $(a + I) + (b + I) = (a + b) + I = (b + a) + I = (b + I) + (a + I)$
1.2 асоциативност:

(3)

\begin{equation} [(a + I) + (b + I)] + (c + I) = [(a + b) + I] + (c + I) = ((a + b) + c) + I = (a + (b + c)) + I = (a + I) + [(b + c) + I] = (a + I) + [(b + I) + (c + I)] \end{equation}

1.3 неутрален елемент: $I = (0 + I)$

(4)

\begin{equation} (0 + I) + (a + I) = (0 + a) + I = a + I = (a + 0) + I = (a + I) + (0 + I) \end{equation}

1.4 противоположен елемент: На $(a + I)$ противоположния му е $((-a) + I)$:

(5)

\begin{equation} (a + I) + ((-a) + I) = (a + (-a)) + I = 0 + I = I \end{equation}

2. Умножение:
2.1 асоциативност:

(6)

\begin{equation} [(a + I).(b + I)].(c + I) = [a.b + I].(c + I) = (a.b).c + I = a.(b.c) + I = (a + I).[(b.c) + I] = (a+I).[(b + I).(c+I)] \end{equation}

3. Дистрибутивни закони:

(7)

\begin{equation} (a + I).[(b+I) + (c + I)] = (a + I).[(b+c) + I] = a.(b + c) + I = (a.b + a.c) + I = (a.b + I) + (a.c + I) = (a + I).(b + I) + (a + I).(c + I) \end{equation}

(8)

\begin{equation} [(a + I) + (b + I)].(c + I) = [(a + b) + I].(c + I) = (a + b).c + I = (a.c + b.c) + I = (a.c + I) + (b.c + I) = (a + I).(c + I) + (b + I).(c + I) \end{equation}

Теорема за хомоморфизмите при пръстени

Дефиниция (естествен хомоморфизъм при пръстени)

Нека $K$ е пръстен и $I \blacktriangleleft K$.
Нека $\eta : K \to K / I$ е дефинирана по следния начин: $\eta(a) = a + I$.
Наричаме $\eta$ естесвен хомоморфизъм от $K$ във $K / I$.
Освен това $\mathrm{Ker}\ \eta = I$.
Доказателство: Сега разбира се трябва да докажем, че глупостите по-горе са валидни - именно че $\eta$ е хомоморфизъм.
Нека $a, b \in K$ са произволни. Да разгледаме сбора:

(9)

\begin{align} \eta(a + b) = (a + b) + I = (a + I) + (b + I) = \eta(a) + \eta(b) \end{align}

Сега произведението:

(10)

\begin{align} \eta(a.b) = a.b + I = (a + I).(b + I) = \eta(a).\eta(b) \end{align}

Следователно $\eta$ е хомоморфизъм.
Сега ядорото му: $x \in \mathrm{Ker}\ \eta \iff \eta(x) = I$. Това е равносилно на $x + I = I$, т.е $x \in I$. Показахме, че $\mathrm{Ker}\ \eta = I$.

Теорема (за хомоморфизмите при пръстени)

Нека $K, M$ са пръстени и $\varphi$ е хомоморфизъм между тях:

(11)

\begin{align} \varphi : K \to M \end{align}

То $K / \mathrm{Ker}\ \varphi \cong \mathrm{Im}\ \varphi$.
Доказателство:
Само да кажа, че доказателството е 1:1 предното доказателство, просто трябва да се провери и умножението. Освен това в следващата глава има още поне 2 подробни доказателства на изоморфизми, затова ще караме сбито.
Нека $\mathrm{Ker}\ \varphi = I$. От първия пример виждаме, че всъщност $I$ е идеал на $K$ (това е лирическо отклонение, подкрепящо избора на $I$ като буква за $\mathrm{Ker}\ \varphi$).
Да си дефинираме функция $\psi : K / I \to \mathrm{Im}\ \varphi$:

(12)

\begin{align} \psi(a + I) = \varphi(a) \end{align}

коректност на дефиницията и инекция: Сега ще докажем, 2 в 1, че горната дефиниция е коректна (т.е функционалните стойности са еднакви при еднакви аргументи), както и че функцията е инекция (т.е от функционалните стойности съвпадат следва, че и аргументите съвпадат). Както виждате от обясненията, това всъщност е твърдение с тогава и само тогава. Да разпишем $\psi(a + I) = \psi(b + I)$, и да проверим, че е еквивалентно с $a + I = b + I$:

(13)

\begin{eqnarray} \psi(a + I) &=& \psi(b + I) \iff \\ \varphi(a) &=& \varphi(b) \iff \\ \varphi(a) - \varphi(b) &=& 0 \iff \\ \varphi(a - b) &=& 0 \iff \\ a - b &\in& \mathrm{Ker}\ \varphi = I \iff \\ (a - b) + I &=& I \iff \\ (a + I) - (b + I) &=& I \iff \\ (a + I) &=& (b + I) + (0 + I) \iff \\ (a + I) &=& (b + I) \end{eqnarray}

Както виждате, показахме че функционалните стойности съвпадат тогава и само тогава когато и аргументите съвпадат.
сюрекция: За всяко $\varphi(a)$, $a \in K$, следователно съществува съседен клас $a + I$, такъв че $\psi(a + I) = \varphi(a)$.
хомоморфизъм: Сега трябва да покажем, че $\psi$ запазва събирането и умножението.

(14)

\begin{eqnarray} \psi((a + I) + (b + I)) &=& \psi((a + b) + I) \\ &=& \varphi(a + b) \\ &=& \varphi(a) + \varphi(b) \\ &=& \psi(a + I) + \psi(b + I) \end{eqnarray}

(15)

\begin{eqnarray} \psi((a + I).(b + I)) &=& \psi((a.b) + I) \\ &=& \varphi(a.b) \\ &=& \varphi(a).\varphi(b) \\ &=& \psi(a + I).\psi(b + I) \\ \end{eqnarray}

Е, не сте се съмнявали нали?
С това доказахме, че $\psi$ е изоморфизъм, следователно $K / \mathrm{Ker}\ \varphi \cong \mathrm{Im}\ \varphi$.