Тема 8

Действие на група върху множество. Орбити и стабилизатори, формула за класовете. Теорема на Кейли.


страницата се нуждае от дописване/преглеждане


Орбити. Стабилизатори. Теорема за Класовете

Действие на група върху множество

Сега ще вкараме едно определение - просто ще наричаме стари неща по нов начин :) нищо страшно.

Дефиниция: Нека $G$ е група и $M \ne \varnothing$ е множество.
Нека изображението $\varphi : G \times M \to M$ (за напред ще записваме $\varphi(g, m)$ като просто $g(m)$ или още по-просто $gm$) изпълнява следните условия:

  • $em = m$
  • $(g_1g_2)m = g_1(g_2m)$

Тогава казваме, че групата $G$ действа на множеството $M$.

Примери

Пример 1: $S_n$ действа на множеството $\{ 1, \cdots, n \}$. Т.е всеки елемент $S_n$ е пермутация, т.е може да си мислим, че показва кой елемент на кое място трябва да отиде, и точно това е резултата от действие на една пермутация с конкретно число от $1$ до $n$.
Пример 2: $D_n$ действа на множеството на правилни $n$-ъгълници. Очевидно всеки връх на правилен $n$-ъгълник отива в друг връх под действието на произволен елемент от $D_n$ (който всъщност представлява произведение на ротация на ъгъл кратен на $\frac{2\pi}{n}$ и осева симетрия.

Примери с M = G

Най-често се използва действие на множество при $M \equiv G$.
Пример 3: Нека $G$ е група и $M = G$. Тогава дефинираме

(1)
\begin{equation} g(m) = gm \end{equation}

Т.е действието се изразява в умножение на 2 елемента от една група - възможно най-елементарната операция.
Сега да проверим, че са изпълнени условията от дефиницията:

  • $e(m) = em = m$
  • $(g_1g_2)(m) = (g_1g_2)m = g_1(g_2m) = g_1(g_2(m))$

Изпълнени са! Следователно може да разглеждаме умножението на 2 елемента на група като действие на групата над множеството образувано от самата група.

Пример 4: Нека $G$ е група и $M = G$. Дефинираме

(2)
\begin{equation} g(m) = g[m] = gmg^{-1} \end{equation}

(в този случай ще записваме $g[m]$ за да не се бъркаме с умножението).
Сега да докажем, че спрягането отговаря на условията от дефиницията за действие на група върху множество:

  • $e[m] = eme^{-1} = eme = m$
  • $g_1g_2[m] = (g_1g_2)m(g_1g_2)^{-1} = g_1(g_2mg_2^{-1})g_1^{-1} = g_1[g_2[m]]$

Изпълнени са! Следователно може да разглеждаме спрягането на елемент като действие на група над множество образувано от самата група.

Теорема на Кейли

Сега ще образуваме една функция, ще докажем че е хомоморфизъм, една малка помощна теоремка и накрая теоремата на Кейли. Всичко по реда си обаче :)

Теорема: Нека $G$ е група и $M$ е множество. Тогава $G$ действа върху $M$ т.с.т.к. съществува хомоморфизъм $\Phi : G \to S_n$.
$| \Rightarrow |$
Нека $G$ е група и $M \ne \varnothing$ е множество. Тогава може да разглеждаме действието на конкретен елемент от групата върху множеството като функция (то винаги си е било функция, но все пак :)).

(3)
\begin{align} \varphi_g : M \to M \quad \forall g \in G \end{align}

Ще докажем, че $\varphi_g$ е биекция.

  • сюрекция: Нека $m \in M$ е произволен елемент и нека $g^{-1}$ е противоположния елемент на $g$. Тогава $\varphi_g(g^{-1}(m)) = g(g^{-1}(m)) = (gg^{-1})(m) = em = m$, т.е получихме че съществува елемент $m' = g^{-1}(m)$, за който $\varphi_g(m') = m$. Направихме разсъждението за произволно $m$, следователно е вярно за всяко! Т.е всеки елемент от $M$ си има първообраз, т.е $\varphi_g$ е сюрекция.
  • инекция: Нека $\varphi_g(m_1) = \varphi_g(m_2) \in M$. Да подложим и 2те страни на равенството под действието на $g^{-1} \in G$: $g^{-1}(\varphi_g(m_1)) = g^{-1}(\varphi_g(m_2)) \Rightarrow (g^{-1}g)m_1 = (g^{-1}g)m_2$, т.е $m_1 = m_2$. Следователно $\varphi_g$ е инекция.

Сега, след като получихме $\varphi_g : M \to M$ биекция спокойно може да заключим, че $\varphi_g \in S_n$ (множеството от всички биекции над едно множество). На всеки елемент от $G$ съпоставихме елемент на $S_n$. Да си кръстим това изображение $\Phi$:

(4)
\begin{align} \Phi : G \to S_n \quad \Phi(g) = \varphi_g \end{align}

Да докажем, че $\Phi$ е хомоморфизъм. Нека $m \in M$ е произволно. Тогава:

(5)
\begin{eqnarray} \Phi(g_1g_2)(m) &=& \varphi_{g_1g_2}(m) \\ &=& (g_1g_2)(m) \\ &=& g_1(g_2(m)) \\ &=& \varphi_{g_1}(\varphi_{g_2}(m)) \\ &=& \Phi(g_1)(\Phi(g_2)(m)) \\ &=& \Phi(g_1)\Phi(g_2)(m) \end{eqnarray}

Следователно $\Phi$ е хомоморфизъм (запазва операцията).
$| \Leftarrow |$
Нека $\Phi : G \to S_n$ е хомоморфизъм. Дефинираме $g(m) = \Phi(g)(m)$. Сега ще докажем, че дефиницията удовлетворява условията от дефиницията за действие на група над множество:

  • $e(m) = \Phi(e)(m) = id(m) = m$ - заради хомоморфизма $\Phi(e)$ е идентитета (единичния елемент на $S_n$);
  • $(g_1g_2)(m) = \Phi(g_1g_2)(m) = \Phi(g_1)\Phi(g_2)(m) = g_1(g_2(m))$

Следователно $G$ действа върху $M$!

Теорема(на Кейли):
Нека $G$ е група, $|G| = n$. Тогава $G$ е изоморфна на подгрупа на $S_n$:

(6)
\begin{align} G \cong H < S_n \end{align}

Доказателство: Нека $M = G$. Разглеждаме $G$ действа върху $M = G$, при $g(m) = gm$ (т.е произведение - от 3ти пример). От предишната теорема получаваме, че съществува хомоморфизъм $\Phi : G \to S_n$.
Нека $H = \mathrm{Im}\ \Phi \subseteq S_n$. Ще докажем, че $G \cong H$, което е еквивалентно, да докажем че $\Phi : G \to H$ е биекция и хомоморфизъм. За 2рото знаем от теоремата, сега ще докажем биекция:

  • инекция: Нека $\Phi(g_1) = \Phi(g_2)$. Това означава, че за всяко $m \in M = G$ е изпълнено $\Phi(g_1)(m) = \Phi(g_2)(m)$. Избираме $m = e$ (единичния елемент). Тогава $\Phi(g_1)(e) = g_1e = g_1$. Аналогично получаваме, и $\Phi(g_2)(e) = g_2e = g_2$, т.е получихме, че $g_1 = g_2$. Следователно $\Phi$ е инективна.
  • сюрекция: Очевидно - нали $H = \mathrm{Im}\ \Phi$ - т.е множеството е 'ограничено' само до тези, които имат първообраз.

Доказахме, че $G \cong H \subseteq S_n$. Т.е получихме, че $H$ е подмножество на $S_n$, което поради изоморфизма с $G$ се оказа група. Но подмножество на група, което е група е подгрупа! Следователно $G \cong H < S_n$.

Орбити. Стабилизатори.

Орбити

Дефиниция: Нека $G$ действа на множеството $M$. Тогава

(7)
\begin{align} O(m) = \{ g(m) | g \in G \} \end{align}

наричаме орбита на елемента $m$.

Свойства

Свойство 1: Нека $x \in O(m)$. Тогава $O(x) = O(m)$.
Доказателство: Нека $x \in O(m)$. От дефиницията на орбита съществува $g \in G$, такова че $x = g(m)$. Да разгледаме произволен елемент $y \in O(x)$. $y = t(x) = t(g(m)) = (tg)(m)$, следователно $y \in O(m)$. Доказахме, че $O(x) \subseteq O(m)$.
Сега да разгледаме пак $x = g(m)$. От 2те страни прилагаме действието на елемента $g^{-1}$ и получаваме $g^{-1}(x) = m$. Това е еквивалентно на $m \in O(x)$ и сега аналогично получаваме, че $O(m) \subseteq O(x)$, т.е окончателно $O(x) = O(m)$.

Свойство 2: Нека $m_1, m_2 \in M$ са произволни елементи. Тогава

(8)
\begin{align} O(m_1) \cap O(m_2) = \begin{cases} \varnothing \\ O(m_1) = O(m_2) \\ \end{cases} \end{align}

Доказателство: Доказва се тривиално с използване на предното свойство.

Твърдение: $M$ се разбива на непресичащи се орбити под действието на $G$:

(9)
\begin{align} M = O(x_1) \cup O(x_2) \cup \cdots \cup O(x_k) \end{align}

Доказателство: Очевидно от последното свойство - вземаме всички орбити, образувани от всички елементи - те или съвпадат една с друга или са непресичащи се - изваждаме си по един представител и сме готови :)

Стабилизатори

Дефиниция: Нека $G$ е група и действа върху множеството $M$. Дефинираме

(10)
\begin{align} \mathrm{St}(m) = \{ g | g \in G \And gm = m \} \end{align}

Т.е за всеки елемент на множеството $M$ стабилизатора са тези елементи от групата, който не го променят при действието си.

Твърдение: $\mathrm{St}(m) < G$
Доказателство: Нека $g_1, g_2 \in G$

(11)
\begin{align} \left\}\begin{array}{rcl} g_1m &=& m \\ g_2m &=& m \end{array}\right\} (g_1g_2)m = g_1(g_2(m)) = g_1m = m \end{align}

Т.е доказахме, че произведение на 2 елемента от стабилизатора пак е в стабилизатора. Остана противоположния елемент:

(12)
\begin{eqnarray} g(m) &=& m \\ g^{-1}(g(m)) &=& g^{-1}(m) \\ (g^{-1}g)(m) &=& g^{-1}(m) \\ em &=& g^{-1}(m) \\ m &=& g^{-1}(m) \\ \end{eqnarray}

следователно $g^{-1}$ също е от стабилизатора. Следователно $\mathrm{St}(m)$ е група.

Твърдение:
Нека $m \in M$ и групата $G$ действа върху елемента $m$. Тогава:

(13)
\begin{align} | G : \mathrm{St}(m) | = | O(m) | \end{align}

Доказателство:
Нека $S = \{ g\mathrm{St}(m) | g \in G \}$ - т.е множеството от левите съседни класове на $\mathrm{St}(m)$, както знаем те са точно $| G : \mathrm{St}(m) |$ на брой. Да дефинираме функцията $\chi$ по следния начин:

(14)
\begin{align} \chi : S \to O(m) \quad \chi(g\mathrm{St}(m)) = gm \end{align}

Ще докажем, че $\chi$ е биекция:

  • инекция: Нека $\chi(g\mathrm{St}(m)) = gm = tm = \chi(t\mathrm{St}(m))$.
(15)
\begin{eqnarray} gm &=& tm \\ t^{-1}gm &=& m \\ t^{-1}g &\in& \mathrm{St}(m) \\ g\mathrm{St}(m) &=& t\mathrm{St}(m) \end{eqnarray}

т.е доказахме, че ако образите съвпадат, и първообразите съвпадат.

  • сюрекция: Нека $x \in O(m)$. Тогава $x = gm$, за някое $g \in G$. Тогава $\chi(g\mathrm{St}(m)) = gm$ по дефиницията на $\chi$.

Следователно функцията е биективна - т.е броя елементи в 2те множества $S$ и $O(m)$ съвпадат, следователно $|S| = |O(m)|$, т.е $|G:\mathrm{St}(m)| = |O(m)|$.

Забележка: Ако разглеждаме операцията върху множеството като спрягане на елементи, тогава орбитите се наричат класове спрегнати елементи, а стабилизаторите се наричат централизатори.

Теорема за Класовете

Теорема(за класовете / формула за класовете):
Нека $G$ действа върху $M$ и $|M| < \infty$. Тогава $M$ може да бъде разбито на непресичащи се орбити:

(16)
\begin{align} M = O(x_1) \cup O(x_2) \cup \cdots O(x_k) \quad O(x_i) \cap O(x_j) = \varnothing\ \And i \ne j \end{align}

Освен това броя на елементите може да бъде представен по 2 начина:

(17)
\begin{eqnarray} |M| &=& |O(x_1)| + |O(x_2)| + \cdots + |O(x_k)| \\ |M| &=& | G : \mathrm{St}(x_1) | + | G:\mathrm{St}(x_2)| + \cdots + |G:\mathrm{St}(x_k) | \end{eqnarray}

Тук, разбира се, $x_i$ са елементи на $M$ - по един представител за всяка орбита / съседен клас.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License