Действие на група върху множество. Орбити и стабилизатори, формула за класовете. Теорема на Кейли.
страницата се нуждае от дописване/преглеждане
Орбити. Стабилизатори. Теорема за Класовете
Действие на група върху множество
Сега ще вкараме едно определение - просто ще наричаме стари неща по нов начин :) нищо страшно.
Дефиниция: Нека $G$ е група и $M \ne \varnothing$ е множество.
Нека изображението $\varphi : G \times M \to M$ (за напред ще записваме $\varphi(g, m)$ като просто $g(m)$ или още по-просто $gm$) изпълнява следните условия:
- $em = m$
- $(g_1g_2)m = g_1(g_2m)$
Тогава казваме, че групата $G$ действа на множеството $M$.
Примери
Пример 1: $S_n$ действа на множеството $\{ 1, \cdots, n \}$. Т.е всеки елемент $S_n$ е пермутация, т.е може да си мислим, че показва кой елемент на кое място трябва да отиде, и точно това е резултата от действие на една пермутация с конкретно число от $1$ до $n$.
Пример 2: $D_n$ действа на множеството на правилни $n$-ъгълници. Очевидно всеки връх на правилен $n$-ъгълник отива в друг връх под действието на произволен елемент от $D_n$ (който всъщност представлява произведение на ротация на ъгъл кратен на $\frac{2\pi}{n}$ и осева симетрия.
Примери с M = G
Най-често се използва действие на множество при $M \equiv G$.
Пример 3: Нека $G$ е група и $M = G$. Тогава дефинираме
Т.е действието се изразява в умножение на 2 елемента от една група - възможно най-елементарната операция.
Сега да проверим, че са изпълнени условията от дефиницията:
- $e(m) = em = m$
- $(g_1g_2)(m) = (g_1g_2)m = g_1(g_2m) = g_1(g_2(m))$
Изпълнени са! Следователно може да разглеждаме умножението на 2 елемента на група като действие на групата над множеството образувано от самата група.
Пример 4: Нека $G$ е група и $M = G$. Дефинираме
(2)(в този случай ще записваме $g[m]$ за да не се бъркаме с умножението).
Сега да докажем, че спрягането отговаря на условията от дефиницията за действие на група върху множество:
- $e[m] = eme^{-1} = eme = m$
- $g_1g_2[m] = (g_1g_2)m(g_1g_2)^{-1} = g_1(g_2mg_2^{-1})g_1^{-1} = g_1[g_2[m]]$
Изпълнени са! Следователно може да разглеждаме спрягането на елемент като действие на група над множество образувано от самата група.
Теорема на Кейли
Сега ще образуваме една функция, ще докажем че е хомоморфизъм, една малка помощна теоремка и накрая теоремата на Кейли. Всичко по реда си обаче :)
Теорема: Нека $G$ е група и $M$ е множество. Тогава $G$ действа върху $M$ т.с.т.к. съществува хомоморфизъм $\Phi : G \to S_n$.
$| \Rightarrow |$
Нека $G$ е група и $M \ne \varnothing$ е множество. Тогава може да разглеждаме действието на конкретен елемент от групата върху множеството като функция (то винаги си е било функция, но все пак :)).
Ще докажем, че $\varphi_g$ е биекция.
- сюрекция: Нека $m \in M$ е произволен елемент и нека $g^{-1}$ е противоположния елемент на $g$. Тогава $\varphi_g(g^{-1}(m)) = g(g^{-1}(m)) = (gg^{-1})(m) = em = m$, т.е получихме че съществува елемент $m' = g^{-1}(m)$, за който $\varphi_g(m') = m$. Направихме разсъждението за произволно $m$, следователно е вярно за всяко! Т.е всеки елемент от $M$ си има първообраз, т.е $\varphi_g$ е сюрекция.
- инекция: Нека $\varphi_g(m_1) = \varphi_g(m_2) \in M$. Да подложим и 2те страни на равенството под действието на $g^{-1} \in G$: $g^{-1}(\varphi_g(m_1)) = g^{-1}(\varphi_g(m_2)) \Rightarrow (g^{-1}g)m_1 = (g^{-1}g)m_2$, т.е $m_1 = m_2$. Следователно $\varphi_g$ е инекция.
Сега, след като получихме $\varphi_g : M \to M$ биекция спокойно може да заключим, че $\varphi_g \in S_n$ (множеството от всички биекции над едно множество). На всеки елемент от $G$ съпоставихме елемент на $S_n$. Да си кръстим това изображение $\Phi$:
(4)Да докажем, че $\Phi$ е хомоморфизъм. Нека $m \in M$ е произволно. Тогава:
(5)Следователно $\Phi$ е хомоморфизъм (запазва операцията).
$| \Leftarrow |$
Нека $\Phi : G \to S_n$ е хомоморфизъм. Дефинираме $g(m) = \Phi(g)(m)$. Сега ще докажем, че дефиницията удовлетворява условията от дефиницията за действие на група над множество:
- $e(m) = \Phi(e)(m) = id(m) = m$ - заради хомоморфизма $\Phi(e)$ е идентитета (единичния елемент на $S_n$);
- $(g_1g_2)(m) = \Phi(g_1g_2)(m) = \Phi(g_1)\Phi(g_2)(m) = g_1(g_2(m))$
Следователно $G$ действа върху $M$!
Теорема(на Кейли):
Нека $G$ е група, $|G| = n$. Тогава $G$ е изоморфна на подгрупа на $S_n$:
Доказателство: Нека $M = G$. Разглеждаме $G$ действа върху $M = G$, при $g(m) = gm$ (т.е произведение - от 3ти пример). От предишната теорема получаваме, че съществува хомоморфизъм $\Phi : G \to S_n$.
Нека $H = \mathrm{Im}\ \Phi \subseteq S_n$. Ще докажем, че $G \cong H$, което е еквивалентно, да докажем че $\Phi : G \to H$ е биекция и хомоморфизъм. За 2рото знаем от теоремата, сега ще докажем биекция:
- инекция: Нека $\Phi(g_1) = \Phi(g_2)$. Това означава, че за всяко $m \in M = G$ е изпълнено $\Phi(g_1)(m) = \Phi(g_2)(m)$. Избираме $m = e$ (единичния елемент). Тогава $\Phi(g_1)(e) = g_1e = g_1$. Аналогично получаваме, и $\Phi(g_2)(e) = g_2e = g_2$, т.е получихме, че $g_1 = g_2$. Следователно $\Phi$ е инективна.
- сюрекция: Очевидно - нали $H = \mathrm{Im}\ \Phi$ - т.е множеството е 'ограничено' само до тези, които имат първообраз.
Доказахме, че $G \cong H \subseteq S_n$. Т.е получихме, че $H$ е подмножество на $S_n$, което поради изоморфизма с $G$ се оказа група. Но подмножество на група, което е група е подгрупа! Следователно $G \cong H < S_n$.
Орбити. Стабилизатори.
Орбити
Дефиниция: Нека $G$ действа на множеството $M$. Тогава
(7)наричаме орбита на елемента $m$.
Свойства
Свойство 1: Нека $x \in O(m)$. Тогава $O(x) = O(m)$.
Доказателство: Нека $x \in O(m)$. От дефиницията на орбита съществува $g \in G$, такова че $x = g(m)$. Да разгледаме произволен елемент $y \in O(x)$. $y = t(x) = t(g(m)) = (tg)(m)$, следователно $y \in O(m)$. Доказахме, че $O(x) \subseteq O(m)$.
Сега да разгледаме пак $x = g(m)$. От 2те страни прилагаме действието на елемента $g^{-1}$ и получаваме $g^{-1}(x) = m$. Това е еквивалентно на $m \in O(x)$ и сега аналогично получаваме, че $O(m) \subseteq O(x)$, т.е окончателно $O(x) = O(m)$.
Свойство 2: Нека $m_1, m_2 \in M$ са произволни елементи. Тогава
(8)Доказателство: Доказва се тривиално с използване на предното свойство.
Твърдение: $M$ се разбива на непресичащи се орбити под действието на $G$:
(9)Доказателство: Очевидно от последното свойство - вземаме всички орбити, образувани от всички елементи - те или съвпадат една с друга или са непресичащи се - изваждаме си по един представител и сме готови :)
Стабилизатори
Дефиниция: Нека $G$ е група и действа върху множеството $M$. Дефинираме
(10)Т.е за всеки елемент на множеството $M$ стабилизатора са тези елементи от групата, който не го променят при действието си.
Твърдение: $\mathrm{St}(m) < G$
Доказателство: Нека $g_1, g_2 \in G$
Т.е доказахме, че произведение на 2 елемента от стабилизатора пак е в стабилизатора. Остана противоположния елемент:
(12)следователно $g^{-1}$ също е от стабилизатора. Следователно $\mathrm{St}(m)$ е група.
Твърдение:
Нека $m \in M$ и групата $G$ действа върху елемента $m$. Тогава:
Доказателство:
Нека $S = \{ g\mathrm{St}(m) | g \in G \}$ - т.е множеството от левите съседни класове на $\mathrm{St}(m)$, както знаем те са точно $| G : \mathrm{St}(m) |$ на брой. Да дефинираме функцията $\chi$ по следния начин:
Ще докажем, че $\chi$ е биекция:
- инекция: Нека $\chi(g\mathrm{St}(m)) = gm = tm = \chi(t\mathrm{St}(m))$.
т.е доказахме, че ако образите съвпадат, и първообразите съвпадат.
- сюрекция: Нека $x \in O(m)$. Тогава $x = gm$, за някое $g \in G$. Тогава $\chi(g\mathrm{St}(m)) = gm$ по дефиницията на $\chi$.
Следователно функцията е биективна - т.е броя елементи в 2те множества $S$ и $O(m)$ съвпадат, следователно $|S| = |O(m)|$, т.е $|G:\mathrm{St}(m)| = |O(m)|$.
Забележка: Ако разглеждаме операцията върху множеството като спрягане на елементи, тогава орбитите се наричат класове спрегнати елементи, а стабилизаторите се наричат централизатори.
Теорема за Класовете
Теорема(за класовете / формула за класовете):
Нека $G$ действа върху $M$ и $|M| < \infty$. Тогава $M$ може да бъде разбито на непресичащи се орбити:
Освен това броя на елементите може да бъде представен по 2 начина:
(17)Тук, разбира се, $x_i$ са елементи на $M$ - по един представител за всяка орбита / съседен клас.