Тема 6

Нормални подгрупи и факторгрупи. Хомоморфизми при групи.

Хомоморфизъм

Дефиниция:
Нека $(G_1, \circ)$ и $(G_2, *)$ са групи.

  • Тогава казваме, че $\varphi : G_1 \to G_2$ е хомоморфизъм, ако $\varphi(a\circ b)=\varphi(a)*\varphi(b)$.
  • $\mathrm{Ker}\ \varphi = \{ x \in G_1 | \varphi(x) = e_2 \} \subseteq G_1$ - ядро на хомоморфизма
  • $\mathrm{Im}\ \varphi = \{ \varphi(x) | x \in G_1 \} \subseteq G_2$ - образ на хомоморфизма.

Свойства

Свойство 1

$\varphi(e_1) = e_2$ - т.е единичният елемент отива в единичния елемент.

Свойство 2

$\varphi(g^{-1}) = \varphi(g)^{-1}$ - т.е противоположен елемeнт при хомоморфизъм отива при съответния му противоположен.

Свойство 3

Нека $\varphi : G_1 \to G_2$ е хомоморфизъм. Тогава

(3)
\begin{eqnarray} \mathrm{Ker}\ \varphi &<& G_1\\ \mathrm{Im}\ \varphi &<& G_2 \end{eqnarray}

Свойство 4

Нека $x, y \in G$. Тогава следните 5 твърдения са еквивалентни:

  1. $\varphi(x) = \varphi(y)$
  2. $xy^{-1} \in \mathrm{Ker}\ \varphi$
  3. $x^{-1}y \in \mathrm{Ker}\ \varphi$
  4. $Hx = Hy \quad H = \mathrm{Ker}\ \varphi$
  5. $xH = yH \quad H = \mathrm{Ker}\ \varphi$

Нормални подгрупи

Дефиниция:
Нека $G$ е група и $H < G$. Тогава $H$ е нормална подгрупа на $G$, ако

  1. $\forall x \in G \Rightarrow xH = Hx$ - т.е левия съседен клас и десния съседен клас, генерирани от един и същ елемент съвпадат.
  2. $\{ gH | g \in G \} = \{ Hg | g \in G \}$ - т.е лявото разбиване на съседни класове на $G$ посредством $H$ съвпада с дясното разбиване на съседни класове на $G$ посредством $H$ (обърнете внимание, че горното твърдение изглежда по-силно, но след малко ще докажем еквивалентност).
  3. $xhx^{-1} \in H \quad \forall h \in H,\ \forall x \in G$ - т.е спрегнатите елементи на елементите от $H$ са също от $H$.

Т.е горните 3 твърдения са еквивалентни помежду си и са алтернативни дефиниции на нормална подгрупа.

Примери

1. $\{ e \} \vartriangleleft G$ - групата на единичния елемент е нормална подгрупа за всяка група
2. $G \vartriangleleft G$ - всяка група е нормална подгрупа на себе си
3. Ако $G$ е комутативна (абелева) и $H < G$, тогава $H \vartriangleleft G$ - т.е всяка подгрупа е нормална подгрупа при комутативните групи (доказва се лесно с 3тата дефиниция)
4. Нека $\varphi : G_1 \to G_2$ е хомоморфизъм. Тогава $\mathrm{Ker}\ \varphi \vartriangleleft G_1$.

5. Нека $H < G$ и $|G:H| = 2$. Следователно $H \vartriangleleft G$.

5.1 $A_n$ е алтернативната група от ред $n$ (т.е всички четни пермутации с $n$ елемента). Тъй като $| S_n : A_n | = 2$ получаваме, че $A_n \vartriangleleft S_n$.

Забележка: Има групи $G$, които нямат други нормални подгрупи освен тривиалните $\{ e \}, G$. Такива групи се наричат прости.

Факторгрупи

Дефиниция: Нека $H \vartriangleleft G$. Тогава множеството $G / H = \{ gH | g \in G \}$ с операцията умножение $xHyH = (xy)H$ е група - нарича се факторгрупа.

Да разгледаме един хомоморфизъм между две групи $G_1, G_2$ и по-специално неговото ядро:

(9)
\begin{align} \varphi : G_1 \to G_2 \quad H = \mathrm{Ker}\ \varphi \vartriangleleft G_1 \end{align}

Да разгледаме множеството

(10)
\begin{align} G / H = \{ gH | g \in G \} \end{align}

т.е всички леви съседни класове спрямо ядрото.
Ще докажем, че $G / H$ е група, с операция умножение дефинирана по следния начин:

(11)
\begin{equation} (g_1H)(g_2H) = (g_1g_2)H \end{equation}

0. Първо ще докажем, че операцията е коректно дефинирана, именно че:

(12)
\begin{align} \left\{\begin{array}{rcl} g_1H &=& gH \\ t_1H &=& tH \end{array}\right\} \Rightarrow (g_1t_1)H = (gt)H \end{align}

Ще използваме 2ро свойство от предната глава:

(13)
\begin{eqnarray} (g_1t_1)H = (gt)H &\iff& (gt)^{-1}g_1t_1 \in H \\ g_1H = gH &\iff& h' = g^{-1}g_1 \in H \\ t_1H = tH &\iff& h'' = t^{-1}t_1 \in H \end{eqnarray}
(14)
\begin{eqnarray} (gt)^{-1}g_1t_1 &=& t^{-1}\underbrace{g^{-1}g_1}_{h'}t_1 \\ &=& t^{-1}h't_1 \\ &=& t^{-1}h'\underbrace{tt^{-1}}_{e}t_1 \\ &=& \underbrace{t^{-1}h't}_{\in H \vartriangleleft G}\underbrace{t^{-1}t_1}_{h'' \in H} \in H \end{eqnarray}

С това доказахме, че операцията е коректно дефинирана.
1. Да докажем, че е асоциативна

(15)
\begin{eqnarray} (aHbH)cH &=& (ab)HcH \\ &=& (ab)cH \\ &=& a(bc)H \\ &=& aH(bc)H \\ &=& aH(bHcH) \end{eqnarray}

т.е използвахме 'в дъното' асоциативността на елементите на групата $G$
2. Неутрален елемент - разбира се, това е $eH = H$:

(16)
\begin{equation} eHxH = (ex)H = xH = (xe)H = xHeH \end{equation}

т.е сега използвахме неутралния елемент на групата
3. Противоположен елемент - за $(xH)^{-1}$ избираме $x^{-1}H$:

(17)
\begin{equation} (xH)(x^{-1}H) = (xx^{-1})H = eH = H \end{equation}

Пример

Нека $n \in \mathbb N \And n > 1$. Тогава $H = \langle n \rangle = n\mathbb Z$ очевидно е нормална подгрупа, т.е $H \vartriangleleft \mathbb Z$.
Да разгледаме

(18)
\begin{align} \mathbb Z / n\mathbb Z = \mathbb Z_n = \{ a + n\mathbb Z | a \in \mathbb Z \} \end{align}

Това всъщност са класовете остатъци по модул $n$. До сега я записвахме по друг начин, но това е без голямо значение - както виждате може да се дефинира като факторгрупа.

Добре е да се забележи, че:

(19)
\begin{align} | G / H | = | G : H | = \frac{ |G| }{ |H| } \end{align}

Теорема за хомоморфизмите

Твърдение: Нека $H \vartriangleleft G$. Тогава изображението

(20)
\begin{align} \eta : G \to G / H \quad \eta(g) = gH \end{align}

е хомоморфизъм, при това $\mathrm{Ker}\ \eta = H$.

Теорема (за хомоморфизмите):

Нека $\varphi : G_1 \to G_2$ е хомоморфизъм.
Тогава ако $H = \mathrm{Ker}\ \varphi \vartriangleleft G_1$, то $G_1 / H \cong \mathrm{Im}\ \ \varphi$

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License