Тема 5

Съседни класове. Теорема на Лагранж.

Съседни класове

Дефиниция (съседен клас):

Нека $G$ е група. Нека $H < G$ и $g \in G$ са произволни. Тогава

(1)
\begin{eqnarray} gH &=& \{ gh\ |\ h \in H \} \\ Hg &=& \{ hg\ |\ h \in H \} \end{eqnarray}

наричаме съседни класове на $G$.
$gH$ е ляв съседен клас.
$Hg$ е десен съседен клас.

Пример

Разглеждаме симетричната група $S_3$, и подгрупата $H$ породена от елемента $(1\ 2)$, т.е $H = \langle (1\ 2) \rangle = \{ id, (1\ 2) \}$.
Нека $g = (1\ 2\ 3) \in G$. Тогава десен и ляв съседен клас на $H$ са съответно:

(2)
\begin{eqnarray} (1\ 2\ 3)H &=& \{ (1\ 2\ 3)id, (1\ 2\ 3)(1\ 2) \} = \{ (1\ 2\ 3), (1\ 3) \} \\ H(1\ 2\ 3) &=& \{ (1\ 2\ 3)id, (1\ 2)(1\ 2\ 3) \} = \{ (1\ 2\ 3), (2\ 3) \} \\ \end{eqnarray}

Както виждате левите и десните съседни класове (породени от един и същи елемент) може да са различни. Разбира се ако групата е комутативна те съвпадат.

Свойства

Свойство 1

$gH = H \iff g \in H \iff H = Hg$

Свойство 2'

$g_1H = g_2H \iff g_1^{-1}g_2 \in H$

Свойство 2''

$Hg_1 = Hg_2 \iff g_1g_2^{-1} \in H$
Доказва се аналогично на горното

Свойство 3

Сечението на левите класове на 2 елемента е или празното множество, или съвпадат.

(4)
\begin{align} g_1 H \cap g_2 H = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} \emptyset \\ {g_1 H = g_2 H} \\ \end{array}} \right. \end{align}

Свойство 3'

(6)
\begin{align} H g_1 \cap H g_2 = \left\{ {\begin{array}{*{20}c} \emptyset \\ { H g_1 = H g_2 } \\ \end{array}} \right. \end{align}

Доказателството е аналогично.

Свойство 4

Нека $H$ е подгрупа на $G$ и $g$ е елемент от $G$. Тогава $gH$ и $H$ са равномощни (имат равен брой елементи).

Свойство 5

Нека $M_1$ и $M_2$ са множествата от левите и десните съседни класове на $G$:

(8)
\begin{eqnarray} M_1 &=& \{ gH | g \in G \} \\ M_2 &=& \{ Hg | g \in G \} \\ \end{eqnarray}

Тогава $M_1$ и $M_2$ са равномощни - т.е съществува биекция $\psi : M_1 \to M_2$.

Теорема на Лагранж

Дефиниция: Нека $G$ е група и $H < G$. Индекс на $H$ в $G$ е броя на левите съседни класове (= броя на десните съседни класове) и се бележи с $|G : H|$.

Теорема (на Лагранж):

Нека $|G| < \infty$, $H < G$ и следователно $|G:H| = k < \infty$.
Тогава $|H||G:H| = |G|$.
Доказателство: Директно следствие от Свойство 3, 4 - всички съседни класове са равномощни помежду си (и имат брой на елементите $|H|$) и освен това са непресичащи се, следователно броя на всички елементи, е броя на съседните класове $|G:H|$, по броя на елементите във всеки от тях $|H|$.

Следствие 1:

Нека $|G| < \infty$ и $H < G$. Следователно $|H| / |G|$ и $|G:H| / |G|$.

Следствие 2:

Нека $g \in G$ и $|G| < \infty$. Следователно $|g| / |G|$ (тук разбира се $|g| = |\langle g \rangle|$)

Следствие 3:

Нека $|G| = p$ е просто. Следователно $G$ е циклична. И $G \cong C_p \cong \mathbb Z_p$ (както знаем цикличните групи от даден ред са все изоморфни помежду си (и в частност на най-известните си представители $C_p$ и $\mathbb Z_p$)).
Доказателство: Нека $a \in G$ е различен от единичния елемент $e$. Тогава $|a| > 1$ и също $|a| / |G| = p$, следователно $|a| = p$. От тук $|\langle a \rangle| = p = |G|$, следователно $\langle a \rangle = G$. Следователно групата е циклична.

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License