Тема 4

Ред на елемент. Циклична група. Групата Zn.

Циклична подгрупа (дефиниция)

Нека $G$ е група и $a \in G$.
С $<\!a\!>$ ще бележим всички елементи от $G$, които са степени на $a$, т.е.

$<\!a\!> \ =\ \{ a^k \ | \ k \in \mathbb{Z} \}$

$<\!a\!>$ наричаме циклична подгрупа, породена от елемента a.

За невярващите:

$<\!a\!> = \{ \dots, a^{-2}, a^{-1}, a^0 = e, a^1, a^2, \dots \}$

$a^ka^s = a^{k+s} \in \ <\!a\!>, \ \forall k, s \in \mathbb{Z}$
$a^{-1} \in \ <\!a\!>$
$<\!a\!> \ \subset G$

Т.е. <a> наистина е подгрупа на G.

Циклична група (дефиниция)

Нека $G$ е група.
Казваме, че $G$ е циклична, ако $\exists a \in G$, такъв че $<\!a\!> \ = \ G$.

Ред на елемент (дефиниция)

Нека $G$ е група и $a \in G$.
Казваме, че редът на елемента $a$ е $k$, ако $k$ е минималното естествено число, за което $a^k = e$.
Записваме $|a| = k$.

Ако такова число не съществува казваме, че редът е безкрайност. Записваме $|a| = \infty$

Твърдения

Твърдение 1

Нека $(G, .)$ е група и $a \in G, \ |a| = k$
Тогава:
1) $a^n = e \iff k|n$
2) $a^s = a^t \iff s \equiv t \pmod k$

Доказателство:


Твърдение 2

Нека $(G, .)$ е група и $a \in G$

$|a| = k \iff |<\!a\!>| = k$

Доказателство:

Групата Zn

Дефиниция

Нека $n \in \mathbb{N}, \ n > 1$

Сега си дефинираме, следните множества:

$\overline{0} = \{ nk \ | \ k\in \mathbb{Z} \}$

$\overline{1} = \{ 1+ nk \ | \ k\in \mathbb{Z} \}$

$\vdots$

$\overline{n-1} = \{ (n-1) + nk \ | \ k\in \mathbb{Z} \}$

Очевидно това са класовете на еквивалентност, на които се разбива множеството $\mathbb{Z}$ от релацията сравнимо по модул n

Дефинираме: $Z_n = \overline{0} \cup \overline{1} \cup \dots \cup \overline{n-1}$

Сега си дефинираме и операцията събиране на класове по следния начин:
$\overline{a+b} = \overline{a} + \overline{b} = \overline{z}$, където $z \equiv (a+b) \pmod n, \ z \in \{0, 1, \dots, n-1 \}$

Очевидно $\overline{z} \in Z_n$, т.е. операцията е бинарна и добре дефинирана, демек:

$+: Z_n \times Z_n \to Z_n$

Сега ще покажем, че $Z_n$ е група относно събирането (на класове):

  1. Асоциативността е ясна (дано!): $(\overline{a} + \overline{b}) + \overline{c} = \overline{a} + (\overline{b} + \overline{c}), \ \forall \overline{a}, \overline{b}, \overline{c} \in Z_n$
  2. За неутрален елемент си избираме $\overline{0}$, защото $a \equiv (a+0) \pmod n$, т.е. $\overline{a} + \overline{0} = \overline{a}$
  3. Противоположен на елемента $\overline{k} \in Zn$ се явява елемента $\overline{n-k} = - \overline{k}, \quad (\overline{k} + \overline{n-k} = \overline{0})$

Следователно, $Z_n$ е група относно бинарната операция събиране на класове.

Изоморфизъм на групи (дефиниция)

Нека $(G_1, *)$ и $(G_2, .)$ са групи.

Казваме, че изображението $\varphi : G_1 \to G_2$ е изоморфизъм, ако:

  1. $\varphi$ е биекция.
  2. $\varphi (a*b) = \varphi(a) . \varphi(b)$ (хомоморфизъм - операциите са съгласувани)

Когато две групи са изоморфни, записваме $G_1 \cong G_2$.

Теорема (класификация на цикличните групи)

Нека $G$ е циклична група.

  • Ако $G$ е крайна, т.е. $|G| = k < \infty \Longrightarrow G \cong Z_k (\cong C_k)$
  • Ако $G$ е безкрайна, т.е. $|G| = \infty \Longrightarrow G \cong \mathbb{Z}$

Доказателство:

Първа част

Първо, нека $G$ е крайна и $|G| = k$

$G$ е циклична $\Longrightarrow \exists a \in G: \ G = <\!a\!>$

Тогава следва, че $G = \{ e, a, a^2, a^3, \dots, a^{k-1} \}$

Имайки предвид, че $Z_k = \{ \overline{0}, \overline{1}, \dots, \overline{k-1} \}$,
можем да си дефинираме изображението:

$\varphi : G \to Z_k$, като
$\varphi (a^i) = \overline{i}$

1. Биекция: Сега ще докажем, че $\varphi$ е биекция. Както знаете биекция = инекция + сюрекция:
1.1. инекция: Следните равенства са равносилни (но ако погледнете отгоре надолу подред даже може да разберете защо):

(1)
\begin{eqnarray} \varphi(a^p) &=& \varphi(a^q) \\ \bar p &=& \bar q \\ p &\equiv& q \pmod{k} \\ a^p &=& a^q \\ \end{eqnarray}

1.2. сюрекция: Очевидно за всяко $\bar x \in Z_k$ съществува $a^x \in G$ такова, че $\varphi(a^x) = \bar x$.
С което биективността на $\varphi$ е доказана!
Забележка: До скоро тук пишеше, че биекция има, защото множествата имат равен брой елементи и са крайни … е да ама ние искаме да докажем че точно тази функция която сме написали е биекция, а не да си опъваме мустаците и да говорим теоретично, че съществува някаква биекция, защото просто произволна биекция не би била хомоморфизъм, right1?

2. Хомоморфизъм:
Нека $a^s$ и $a^t$ са два произволни елемента от $G$.

$\varphi(a^sa^t) = \varphi(a^{s+t}) = \varphi (a^r) = \overline{r}$ [1], където $s + t = qk + r, \ 0 \leq r < k$

А иначе:
$\varphi(a^s) + \varphi(a^t) = \overline{s} + \overline{t} = \overline{r}$ (по дефиниция) [2]

От [1] и [2] следва, че $\varphi(a^sa^t) = \varphi(a^s) + \varphi(a^t)$, т.е. $\varphi$ е хомоморфизъм [2].

Доказахме, че $\varphi$ е хомоморфизъм и биекция, т.е. $\varphi$ е изоморфизъм, от където следва, че $G \cong Z_k$.

Втора част:

Сега нека $G$ безкрайна и циклична

Т.е. $\exists a \in G: \ G = <\!a\!>, \ |a| = \infty$

Демек $G = \{ a^k \ | \ k \in \mathbb{Z} \}$

Сега си дефинираме изображението:

$\psi : G \to \mathbb{Z}$
$\psi(a^k) = k$

1. Биекция
1.1 Инекция: Следните 3 равенства са равносилни. В правата посока е очевидно, наобратно използваме, че $a^k = a^s \iff a^{k-s} = e \iff k - s = 0$ (от реда на групата):

(2)
\begin{eqnarray} \psi(a^k) &=& \psi(a^s) \\ k &=& s \\ a^k &=& a^s \end{eqnarray}

1.2 Сюрекция: За всяко $z \in \mathbb{Z}$, съществува $a^z \in G$, такова че $\psi(a^z) = z$.

2. Хомоморфизъм: Сега нека забележим, че $\psi(a^ka^s) = \psi(a^{k+s}) = k + s = \psi(a^k) + \psi(a^s)$
Следователно $\psi$ е хомоморфизъм, и, както вече знаем:

$\psi$ = хомоморфизъм + биекция = изоморфизъм

Т.е., иначе казано, $G$ и $\mathbb{Z}$ са изоморфни ($G \cong \mathbb{Z}$). $\Box$

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License