Тема 3

Групи. Определение, примери, основни свойства.

Алгебрични системи

Множества с набор от операции наричаме алгебрични системи.

Бинарна операция

Нека $M$ е произволно множество.
Изображението $* : M \times M \to M$ наричаме бинарна операция (в множеството).

Ако $a, b \in M$, то $(a,b) \xrightarrow{*} a*b$ (инфиксен запис)


Най-простата алгебрична система е групата (с една бинарна операция).

Групи

Дефиниция

Нека $G$ е непразно множество ($G \neq \emptyset$)
$G$ наричаме група относно бинарната операция *, ако са изпълнени следните условия:

1. $(a*b)*c = a*(b*c)$ асоциативност на операцията
2. $\exists e: \quad a*e = e*a = a, \quad \forall a \in G$ съществуване на неутрален елемент
3. $\forall a \in G, \quad \exists b_a \in G: a*b_a = b_a*a = e$ противоположен елемент

Записът $(G,*)$ означава, че $G$ е група относно операцията $*$.


Ред на група

Ред на група наричаме броят на елементите в групата.

Отбелязва се с $|G|$.

Ако елементите на групата са краен брой, групата се нарича крайна ($|G| < \infty$)
Иначе - безкрайна ($|G| = \infty$)


Примери


Терминология:

Операцията на дадена група може да бъде записана както мултипликативно, така и адитивно.
Според начина на записване се използват следните понятия:

Мултипликативен запис

  • Операцията се нарича умножение. Използва се символът $.$
  • $a.b$ наричаме произведение на $a$ и $b$ (често точката се пропуска $a.b = ab$)
  • $e = 1$ наричаме единичен елемент
  • $a^{-1}$ наричаме обратен елемент на елемента $a$.

Адитивен запис

  • Операцията се нарича събиране. Използва се символът $+$
  • $a+b$ наричаме сума на $a$ и $b$
  • $e = 0$ наричаме нулев елемент
  • $-a$ наричаме противоположен елемент на елемента $a$.

Идеята на двата записа е да се покаже, че все пак не е едно и също дали ще се събират или умножават два елемента на група.
Но, както ще се види по-късно, Алгебрата не прави разлика между двата записа стига поведението на елементите на групата и операцията в нея да е едно и също.


Основни свойства

Единичният (нулевият) елемент е единствен

Доказателство:
Допускаме, че $\exists \ e_1, e_2$, такива че
$e_1a = ae_1 = a$ и $e_2a = ae_2 = a, \ \forall a$.

Тогава:
$e_1e_2 = e_1$, тъй като $e_2$ е единичен.
$e_1e_2 = e_2$, тъй като $e_1$ е единичен.
От последните два реда, очевидно следва, че $e_1 = e_2. \Box$


Обратният (противоположният) елемент е единствен

Доказателство:
Допускаме, че $\exists \ b_1, b_2$, такива че
$b_1а = ab_1 = e$ и $b_2a = ab_2 = e$.

$b_1 = b_1e = b_1(ab_2) = (b_1a)b_2 = eb_2 = b_2 \ \Longrightarrow \ b_1 = b_2. \Box$

Тъй като доказахме, че обратният елемент е единствен, можем да го отбелязваме и по по-специален начин.
С $a^{-1}$ отбелязваме обратния елемент на елемента $a$ (при мултипликативен запис),
а с $-a$ отбелязваме противоположния елемент на елемента $a$ (при адитивен запис).


Обобщена асоциативност

$a_1a_2, \dots, a_k$
Идеята е, че при произволно разположение на скобите върху тези елементи се получава един и същи резултат.
Примерно
$a_1a_2a_3a_4 = (a_1a_2)(a_3a_4) = (a_1(a_2a_3))a_4$ и т.н.

Така можема да дефинираме
$a^n = \underbrace{aa \dots a}_{n}$
и да си изведем следните свойства:

при мултипликативен запис:
$a^ka^s = \underbrace{aa \dots a}_{k} \underbrace{aa \dots a}_{s} = a^{k+s}$

и

$(a^k)^s = \underbrace{a^ka^k \dots a^k}_{s} = a^{ks}$

NB:
$(ab)^n = \underbrace{(ab)(ab) \cdots (ab)}_{n}$
Не можем да твърдим, че $(ab)^n = a^nb^n$, тъй като никой не ни гарантира, че операцията в групата е комутативна.

при адитивен запис:
Дефинираме
$na = \underbrace{a + \dots + a}_{n}$

Тук $na$ не е умножение, а обобщение на събирането"
доц. Великова

Аналогично
$ka + sa = (k+s)a$ и $k(sa) = (ks)a$.


Свойство 4

Ако $a, b \in G \ \Longrightarrow \ \exists ! \ x \in G: ax = b$ и
$\exists ! y \in G: ya = b$.

(или, иначе казано, дадените уравнения имат единствени решения)

Доказателство:
Съществуване ($\exists$)
$a(a^{-1}b) = (aa^{-1})b = eb = b \ \Longrightarrow \ x = a^{-1}b$

Единственост ($!$)
Нека $ax_1 = b$.
Умножаваме двете страни на равенството с $a^{-1}$ отляво и получаваме:

(1)
\begin{eqnarray} a^{-1}(ax_1) &=& a^{-1}b \\ (a^{-1}a)x_1 &=& a^{-1}b \\ ex_1 &=& a^{-1}b \\ x_1 &=& a^{-1}b \\ &\Longrightarrow& x_1 = x \end{eqnarray}

Следователно $x$ е единствено.

Аналогично се получава, че $y = ba^{-1}$. $\Box$


Абелева група

Групата $(G,*)$, за която е изпълнено, че $a*b = b*a \quad \forall a, b \in G$, наричаме абелева (комутативна).

Примери


Подгрупа

Подгрупа е непразно подмножество на дадена група, което също е група относно същата операция.

$H$ - подгрупа на $G$ отбелязваме по следния начин: $H \le G$
Използва се и $H < G$ за случаите, когато е сигурно, че $H \ne G$

Примери


Твърдение:

Нека G е група относно операцията .
и $H \subset G, \ H \neq \varnothing$

Тогава:

(2)
\begin{align} H < G \iff \begin{cases} ab \in H, \ \forall a,b \in H \ (1) \\ a^{-1} \in H, \ \forall a \in H \ (2) \end{cases} \iff ab^{-1} \in H, \ \forall a,b \in H \ (3) \end{align}

Доказателство:
$| \Rightarrow |$

$H < G \Longrightarrow$
(1) е изпълнено, тъй като $H$ е група спрямо тази операция.
(2) е изпълнено, поради свойство 3 на дефиницията за група.

$| \Leftarrow |$
От (1) следва, че операцията е бинарна за H.
(2) е еквивалентно на свойство 3 на дефиницията за група.

(3)
\begin{align} H \neq \varnothing \Longrightarrow \exists a \in H \xrightarrow{(2)} \exists a^{-1} \in H \Longrightarrow aa^{-1} = e \in H \end{align}

Следователно свойство 2 на дефиницията за група е също изпълнено.

Асоциативността е в сила в G и, следователно, е в сила и в H.
Т.е. свойство 1 е също изпълнено за H.

Така, по дефиниця, следва, че H е група.
И тъй като $H \subset G, \ H \neq \varnothing \Longrightarrow$ H е подгрупа на G.

Сега нека разгледаме (3)
Нека $b \in H$

(4)
\begin{eqnarray} & & b \in H \Longrightarrow bb^{-1} = e \in H \Longrightarrow eb^{-1} = b^{-1} \in H \\ & & a, b \in H \Longrightarrow b^{-1} \in H \Longrightarrow a(b^{-1})^{-1} \in H \Longrightarrow ab \in H \end{eqnarray}

И отново, щом асоциативността е изпълнена в G, то тя е в сила и в H
Т.е. отново получихме, че всички свойства от дефиницията са изпълнени и H е група.
И тък като H е подмножество на групата G, следва, че $H < G$. $\Box$

Примери

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License