Тема 2

Линейна (не)зависимост. Основна лема на линейната алгебра.

---

страницата се нуждае от дописване/преглеждане

---

Линейна зависимост

Нека $V$ линейно пространство над $F$.
Определение: $A = (a_1, a_2, \cdots, a_k) \quad a_i \in V i = \overline{1,k}$ ще наричаме линейна система (т.е наредена съвкупност от елементи на полето).

Линейно зависима система

Определение: Нека $A$ e линейна система в полето $V$.
Казваме, че $A$ e линейно зависима система (ЛЗ), ако $\exists (\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_k) \ne (0, 0, \cdots , 0)$, за който:

(1)

\begin{align} \lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 + \cdots + \lambda_k a_k = \bar 0 \end{align}

Т.е ако съществува нетривиална линейна комбинация на векторите от $A$ (нетривиална, означава че има поне един ненулев коефициент), която е равна на $\bar 0$.

Линейно независима система

Определение: Нека $A = (a_1, a_2, \cdots, a_k)$ е линейна система във $V$.
Казваме, че $A$ e линейно независима система (ЛНЗ), ако $\forall (\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_k) \ne (0, 0, \cdots, 0)$ е изпълнено:

(2)

\begin{align} \lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 + \cdots + \lambda_k a_k \ne \bar 0 \end{align}

т.е всяка нетривиална линейна комбинация на векторите от $A$ е различна от нулевия вектор.

Свойства

1. Един вектор $a$ е ЛЗ, ако $a = \bar 0$.
2. $A'$ е ЛЗ и $A' \subseteq A$, тогава $A$ е ЛЗ.
Доказателство: Тогава по дефиниция съществува линейна комбинация $(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_s) \ne (0, 0, \cdots, 0)$ за която $\lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 + \cdots + \lambda_s a_s = \bar 0$. Тогава си образуваме $(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_s, 0, 0, \cdots 0) \ne (0, 0, \cdots, 0)$, за която очевидно:

(3)

\begin{align} \lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 + \cdots \lambda_s a_s + 0 a_{s+1} + 0 a_{s+2} + \cdots 0 a_k = \bar 0 \end{align}

Т.е показахме, че $A$ е ЛЗ.
3. Ако $A$ е ЛНЗ, то $\forall A' \subseteq A$ е ЛНЗ.
Доказателство: Допускаме, че $A' = (a_1, a_2, \cdots, a_s)$ е ЛЗ. Използваме свойство 2 и получаваме, че $A$ е ЛЗ. Противоречие! Следователно $A'$ е ЛНЗ.
4. $a, b$ са ЛЗ т.с.т.к. $a = \lambda b$ или $b = \mu a$.
Доказателство:
Права посока: Нека $a, b$ са ЛЗ. Тогава $\exists (\alpha, \beta) \ne (0, 0)$ за които $\alpha a + \beta b = \bar 0$.
Ако $\alpha \ne 0$, тогава $a + \frac{\beta}{\alpha}b = \bar 0 \Rightarrow a = - \frac{\beta}{\alpha}b$.
Ако $\beta \ne 0$, тогава $\frac{\alpha}{\beta} a + b = \bar 0 \Rightarrow b = - \frac{\alpha}{\beta} a$.
Обратна посока: Нека $a = \lambda b$. Тогава $1 a + (- \lambda) b = \bar 0$, следователно $a, b$ са ЛЗ.
Нека $b = \mu a$. Тогава $\mu a + (-1) b = \bar 0$, следователно $a, b$ са ЛЗ.
4'. Ако в една система има 2 пропорционални вектора от свойство 4 и свойство 2 следва че системата е ЛЗ.
5. $A = (a_1, a_2, \cdots a_k) \quad k \ge 2$ е ЛЗ, т.с.т.к съществува вектор $a_i$, който е линейна комбинация на останалите вектори, т.е $a_i \in l(a_1, a_2, \cdots, a_{i-1}, a_{i+1}, \cdots, a_k)$.
Доказателство:
Права посока: Нека $A$ е ЛЗ. Тогава съществуват $(\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_k) \ne (0, 0, \cdots, 0)$, за които $\lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 + \cdots + \lambda_k a_k = \bar 0$. Със сигурност съществува $i \in [1, k]$, за което $\lambda_i \ne 0$. Тогава

(4)

\begin{align} a_i = - \left(\frac{\lambda_1}{\lambda_i} a_1 + \frac{\lambda_2}{\lambda_i} a_2 + \cdots + \frac{\lambda_{i-1}}{\lambda_i}a_{i-1} + \frac{\lambda_{i+1}}{\lambda_i}a_{i+1} + \cdots + \frac{\lambda_k}{\lambda_i}a_k\right) \end{align}

т.е показахме, че съществува $i : a_i \in l(a_1, a_2, \cdots ,a_{i-1}, a_{i+1}, \cdots, a_k)$.
Обратна посока: Нека $a_i \in l(a_1, a_2, \cdots, a_{i-1}, a_{i+1}, \cdots, a_k)$, т.е съществуват $\lambda_1, \lambda_2, \cdots, \lambda_{i-1}, \lambda_{i+1}, \cdots, \lambda_k$, такива че $a_i = \lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 + \cdots \lambda_{i-1}a_{i-1} + \lambda_{i+1}a_{i+1} + \cdots + \lambda_k a_k$. Тогава очевидно:

(5)

\begin{align} \lambda_1 a_1 + \cdots \lambda_{i-1}a_{i-1} + (-1) a_i + \lambda_{i+1}a_{i+1} + \cdots + \lambda_k a_k = \bar 0 \end{align}

Т.е показахме, че съществува линейна комбинация на $a_1, a_2, \cdots , a_k$ с поне един ненулев коефициент, която е равна на $\bar 0$, т.е $A$ е линейно зависима.

Основна Лема на Линейната Алгебра

Лема(Основна лема на Линейната Алгебра):
Нека $V$ е линейно пространство над $F$.
Нека $A = (a_1, a_2, \cdots, a_k)$ и $B = (b_1, b_2, \cdots, b_n)$ са линейни системи във $V$, като $b_i \in l(A) \quad i = \overline{1,n}$. (т.е векторите в $B$ са линейни комбинации на векторите от $A$). Тогава ако $k < n$, то $B$ е ЛЗ.
Доказателство:
Ще направим доказателство по индукция по $k$.
База на индукцията: Нека $k = 1$. Тогава $A = a_1$.
Понеже $n > k = 1$, то $n \ge 2$. Нека $b_1 = \lambda_1 a_1$ и $b_2 = \lambda_2 a_1$.
Нека $\lambda_1 \lambda_2 \ne 0$, тогава $\lambda_2 b_1 + (- \lambda_1) b_2 = \lambda_2 \lambda_1 a_1 + (- \lambda_1 \lambda_2) a_1 = \bar 0$, т.е получихме, че $B$, която съдържа $b_1, b_2$ е линейно зависима (от св. 2).
Нека $\lambda_1 \lambda_2 = 0$, тогава поне едно от ламбдите е 0, т.е съответното му $b$ също е $\bar 0$. От тук по св. 2 отново получаваме $B$ e ЛЗ.
Индукционна хипотеза: Нека твърдението е вярно за произволна система с $k$ вектора.
Индукционна стъпка: Нека $A = (a_1, a_2, \cdots, a_k, a_{k+1})$.

(6)

\begin{matrix} b_1 =& \lambda_{1 1} a_1 +& \lambda_{1 2} a_2 +& \cdots +& \lambda_{1 k} a_k +& \lambda_{1 k+1} a_{k+1} \\ b_2 =& \lambda_{2 1} a_1 +& \lambda_{2 2} a_2 +& \cdots +& \lambda_{2 k} a_k +& \lambda_{2 k+1} a_{k+1} \\ \vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots & \vdots \\ b_n =& \lambda_{n 1} a_1 +& \lambda_{n 2} a_2 +& \cdots +& \lambda_{n k} a_k +& \lambda_{n k+1} a_{k+1} \\ \end{matrix}

1сл. Нека $\lambda_{n i} = 0 \quad i = \overline{1,k+1}$. Тогава $b_n = \bar 0$ и по св. 2 получаваме $B$ е ЛЗ.
2сл. Нека $\exists \lambda_{n i} \ne 0$. Без ограничение на общността може да считаме, че $\lambda{n k+1} \ne 0$. Тогава образуваме:

(7)

\begin{array} {cccccccccccccccccccccccccccccc} b_1' &=& b_1 - \frac{\lambda_{1 k+1}}{\lambda_{n k+1}}b_n &=& \left(\lambda_{1 1} - \frac{\lambda_{1 k+1}}{\lambda_{n k+1}}\lambda_{n 1}\right) a_1 &+& \left(\lambda_{1 2} - \frac{\lambda_{1 k+1}}{\lambda_{n k+1}}\lambda_{n 2}\right) a_2 &+& \cdots &+& \left(\lambda_{1 k} - \frac{\lambda_{1 k+1}}{\lambda_{n k+1}}\lambda_{n k}\right) a_k &+& 0 a_{k+1} \\ b_2' &=& b_2 - \frac{\lambda_{2 k+1}}{\lambda_{n k+1}}b_n &=& \left(\lambda_{2 1} - \frac{\lambda_{2 k+1}}{\lambda_{n k+1}}\lambda_{n 1}\right) a_1 &+& \left(\lambda_{2 2} - \frac{\lambda_{2 k+1}}{\lambda_{n k+1}}\lambda_{n 2}\right) a_2 &+& \cdots &+& \left(\lambda_{2 k} - \frac{\lambda_{2 k+1}}{\lambda_{n k+1}}\lambda_{n k}\right) a_k &+& 0 a_{k+1} \\ \vdots & & \vdots & & \vdots & & \vdots & & \ddots & & \vdots & & \vdots \\ b_{n-1}' &=& b_{n-1} - \frac{\lambda_{{n-1} k+1}}{\lambda_{n k+1}}b_n &=& \left(\lambda_{{n-1} 1} - \frac{\lambda_{{n-1} k+1}}{\lambda_{n k+1}}\lambda_{n 1}\right) a_1 &+& \left(\lambda_{{n-1} 2} - \frac{\lambda_{{n-1} k+1}}{\lambda_{n k+1}}\lambda_{n 2}\right) a_2 &+& \cdots &+& \left(\lambda_{{n-1} k} - \frac{\lambda_{{n-1} k+1}}{\lambda_{n k+1}}\lambda_{n k}\right) a_k &+& 0 a_{k+1} \\ \end{array}

Така получихме, че $B' = (b_1' , b_2', \cdots, b_{n-1}')$ са линейни комбинации на $a_1, a_2, \cdots, a_k$, и от индукционното предположение имаме, че $B'$ е ЛЗ. Тогава съществуват коефициенти $\beta_1, \beta_2, \cdots, \beta_{n-1}$, такива че $\beta_1 b_1' + \beta_2 b_2' + \cdots + \beta_{n-1} b_{n-1}' = \bar 0$. Тогава:

(8)

\begin{eqnarray} & & \beta_1 \left( b_1 - \frac{\lambda_{1 k+1}}{\lambda_{n k+1}} b_n \right) + \beta_2 \left( b_2 - \frac{\lambda_{2 k+1}}{\lambda_{n k+1}} b_n \right) + \cdots + \beta_{n-1} \left( b_{n-1} - \frac{\lambda_{n-1 k+1}}{\lambda_{n k+1}} b_n \right) = \bar 0 \\ & & \beta_1 b_1 + \beta_2 b_2 + \cdots + \beta_{n-1} b_{n-1} + \left( \beta_1 \frac{\lambda_{1 k+1}}{\lambda_{n k+1}} + \beta_2 \frac{\lambda_{2 k+1}}{\lambda_{n k+1}} + \cdots + \beta_{n-1} \frac{\lambda_{n-1 k+1}}{\lambda_{n k+1}}\right) b_n = \bar 0 \end{eqnarray}

Това е линейна комбинация на $B = (b_1, \cdots, b_n)$, с което показахме, че $B$ е ЛЗ.