Тема 1

Комплексни числа. Полета. Числови полета.


статията се нуждае от дописване


Поле

Дефиниция:
Ако $M$ е непразно множество с 2 бинарни операции - $+$ и $*$, за който са изпълнени следните условия:

  1. $a + b = b + a \quad ab = ba$ комутативност на събирането и умножението
  2. $(a + b) + c = a + (b + c) \quad (ab)c = a(bc)$ асоциативност на събирането и умножението
  3. $\exists 0 : 0 + a = a \quad \exists 1 : 1a = a \ \forall a \in M$ съществуване на неутрален елемент относно събирането и умножението
  4. $\forall a \in M\ \begin{cases} \exists b=-a : a+b = 0 \\ \exists b=\frac{1}{a}: ab = 1 & a \ne 0 \end{cases}$ съществува противоположен елемент относно операциите събиране и умножение
  5. $(a+b)c = ab + ac$ дистрибутивност

За сега сме се сблъсквали най-често с полето на рационалните и реалните числа : $\mathbb Q,\ \mathbb R$ - полета.
$\mathbb N,\ \mathbb Z$ - не са полета ($\mathbb N$ не изпълнява 4 за събиране, $\mathbb Z$ не изпълнява 4 за умножение)

изваждане и деление

Да не си помислите, че в полетата ги няма дефинирани тези операции? Просто дефиницията загатва за тях чрез противоположните елементи и ще трябва да си ги дефинираме отделно:

(1)
\begin{eqnarray} a - b &=& a + (-b) \\ \frac{a}{b} &=& a \frac{1}{b} \\ \end{eqnarray}

Ако искаме да извадим $b$ просто трябва да съберем с противоположния елемент на $b$ отностно операцията събиране - т.е $(-b)$. Респективно за делението - трябва да умножим с противоположния елемент относно операцията умножение (на $b$ противоположен е $\frac{1}{b}$)

Комплексни числа

Сега ще се запознаем с още едно поле - именно полето на комплексните числа $\mathbb C$.
Дефиниция:
Множеството на комплексните числа е множеството от наредени 2ки реални числа $(a, b)$, където $a$ се нарича реална част, b се нарича комплексна част. Операцийте $+ \ *$ са дефинирапо следния начин:

(2)
\begin{eqnarray} + &:& (a, b) + (c, d) = (a + c, b + d) \\ * &:& (a, b)(c, d) = (ac - bd, ad + bc) \end{eqnarray}

Защо е точно такава дефиницията за умножение на комплексни числа, прочетете по-долу в статията.
Това е една от многото възможни дефиниции - точно тази е дадена на лекции.
Едно интересно свойство:
$\mathbb R$ се влага в $\mathbb C$ (инекция)
На всяко реално число $a$ може да съпоставим комплексно число $(a, 0)$. Изпълнено е:
$a, b \in \mathbb R a \to (a, 0),\ b \to (b, 0) \Rightarrow a+b \to (a+b, 0)$
$a, b \in \mathbb R a \to (a, 0),\ b \to (b, 0) \Rightarrow ab \to (ab, 0)$

Защо C е поле

В момента за $\mathbb C$ знаем, че е множество, с дефинирани операции $+$ и $*$. Сега ще проверим че са изпълнени 5те условия за поле, с което ще докажем, че $\mathbb C$ всъщност е поле:

Това е общото условие (за да не го преписвам всеки път):

(3)
\begin{align} (a, b), (c, d) \in \mathbb C \end{align}

Свойство 1:

(4)
\begin{align} (a, b) + (c, d) \overset{\underset{def}{}}= (a+c, b+d) \overset{\underset{\mathbb R}{}}= (c+a, d+b) = (c, d) + (a, b) \end{align}

Първо прилагаме дефиницията за събиране на комплексни числа, след което разменяме $a$ и $c$ както и $b$ и $d$ защото те са реални числа и за тях е изпълнено комутативното свойство (св. 1), след което просто използваме дефиницията за събиране на комплексни числа в обратната посока. Умножението е аналогично.

Свойство 2:
Аналогично на свойство 1.

Свойство 3:
Елементите $(0, 0)$ и $(1, 0)$ отговарят за неутрални относно събиране и умножение съответно:

(5)
\begin{eqnarray} (0, 0) \in \mathbb C &:& (0, 0) + (a, b) \overset{\underset{def}{}}= (0 + a, 0 + b) \overset{\underset{\mathbb R}{}}= (a, b) \\ (1, 0) \in \mathbb C &:& (1, 0)(a, b) \overset{\underset{def}{}}= (1a - 0b, 1b+0a) \overset{\underset{\mathbb R}{}}= (1a, 1b) = (a, b) \end{eqnarray}

Свойство 4:
Противоположен елемент на $(a, b)$ при операция събиране e $(-a, -b)$.
Има различни начини да намерим противоположния елемент на $(a, b)$. Ще покажа няколко от тях:
Нека приемем, че $(c, d)$ е противоположен на $(a, b)$. Тогава:

(6)
\begin{eqnarray} &(a, b)(c, d) = (1, 0)& \\ &(ac-bd, ad+bc) = (1, 0)& \\ &\left| \begin{matrix} ac-bd = 1 \\ ad+bc = 0 \end{matrix} \right. &\\ \end{eqnarray}

Решаваме тази система спрямо $c$ и $d$ (т.е това са неизвестните) и получаваме:

(7)
\begin{align} (c, d) = (\frac{a}{a^2+b^2}, -\frac{b}{a^2+b^2}) \end{align}

Следващия начин след малко :)

Свойство 5:
Като се разпише израза отляво и отдясно по правилата за събиране и умножение ще се получи еднакъв резултат

Имагинерна единица

Не знам от къде е дошла идеята за алгебричен запис на комплексни числа, но трябва да се признае че е доста сполучлива:
Всяко комплексно число $(a, b)$ може да се запише като $a + bi$, където $i$ е специално число, наречено имагинерна единица, което както сами може да се досетите не е реално. Като го повдигнем на квадрат обаче, получаваме реалното число -1. (обърнете внимание, че досега не можехме да намираме корени на отрицателни числа - е … вече можем). До сега всичко изглежда нагласено, обаче ако използваме този запис - $a + bi$ и това свойство $i^2 = -1$ можем да смятаме с комплексни числа точно както сме смятали с реални до сега - ето как се разписват събирането и умножението:

(8)
\begin{eqnarray} & & (a, b) + (c, d) = (a + bi) + (c + di) = a + bi + c + di = (a + c) + (b + d)i = (a+c, b + d)\\ & & (a, b)(c, d) = (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi^2 = (ac - bd) + (ad + bc)i = (ac - bd, ad + bc)\\ \end{eqnarray}

Не мога да дам точна дефиниция на правилата, зад тези сметки - просто интуитивно извършвамe действията все едно числата са реални, и ако се появи $i$ на по-висока степен я редуцирамe (като заменям колкото се налага $i^2$ със -1) до нулева или първа. Накрая - коефициента, пред който няма $i$ е реалната част на комплексното число, а този със $i$ е имагинерната част.

Комплексно спрягане

Всяко комплексно число си има комплексно спрегнато. То се получава като се умножи комплексната част по -1. Т.е комплексно спрегнатото на $(a, b)$ е $\overline{(a, b)} = (a, -b)$. Обърнете внимание, че реалните числа (разгледани като комплексни) имат комплексно спрегнати, съвпадащи със самите тях (това е така защото при тях имагинерната част е 0).

Свойства

Със гръцки букви $(\alpha, \beta)$ ще бележим комплексни числа. Черта отгоре означава комплексно спрегнато:

(9)
\begin{eqnarray} &1.& \overline{\alpha + \beta} = \bar \alpha + \bar \beta\\ &2.& \overline{\alpha\beta} = \bar \alpha \bar \beta \\ &3.& \overline{\left(\frac{\alpha}{\beta}\right)} = \frac{\bar \alpha}{\bar \beta}\\ &4.& \alpha \equiv \bar \alpha \iff \alpha \in \mathbb R\\ &5.& \alpha\bar\alpha = (a+bi)(a-bi) = a^2+b^2 \ge 0 \in \mathbb R\\ & & \sqrt{\alpha\bar\alpha} = \sqrt{a^2 + b^2} = |\alpha| = |a+bi| \end{eqnarray}

Това последното ще наричаме модул на комплексно число. Ако си мислим за модул като 'премахване на знака' както беше случая с реалните числа няма да стигнем много далеч, но ако го възприемаме като разстояние до 0 има повече логика - ако си представим комплексните числа координати върху декартова координатна система (да - тази за която се сещате) то модул на комплексно число е точно дължината на отсечката, свързваща го с (0, 0).

Доказателството на тези свойства е тривиално - използват се единствено дефинициите за спрегнато и сбор/произведение.

Сега да видим с какво това ще ни помогне за намирането на противоположния елемент на $(a, b)$ относно умножението:

(10)
\begin{eqnarray} (c, d) &=& \frac{1}{(a, b)}\\ &=& \frac{1}{a + bi}\\ &=& \frac{1(a- bi)}{(a + bi)(a - bi)}\\ &=& \frac{a}{a^2+b^2} + \frac{-bi}{a^2+b^2} \end{eqnarray}

Както виждате - разширихме дробта със комплексно спрегнатото на знаменателя, за да получим реален знаменател. Все пак имахме $i$, в знаменател - а там наистина не знахме какво да го правим :)

Запис чрез тригонометрични функции

До тук видяхме, че комплексните числа могат да се записват като наредена двойка $(a, b)$, като многочлен, в който участва $i$ - $a + bi$. Има обаче още един разпространен запис - именно чрез тригонометрични функции. Ако гледаме на комплексното число $\alpha$ като точка в равнината, чието разстояние до нулата (модул) е $r$, а ъгълът който сключва лъча с начало (0, 0) и край $\alpha$ с лъча $Ox$ - $\theta$ то може да запишем $\alpha$ по следния начин:

(11)
\begin{align} \alpha = r(\cos \theta + i\sin \theta) \end{align}

Сега сигурно се чудите как се събират комплексни числа записани по този начин? Ами трудно. Добрата новина е че умножението/делението и степенуването/коренуването стават доста лесно. На помощ идват

Формули на Моавър

(12)
\begin{eqnarray} \alpha &=& r(\cos \theta + i\sin \theta)\\ \beta &=& r'(\cos \theta' + i\sin \theta')\\ \end{eqnarray}
(13)
\begin{eqnarray} \alpha\beta &=& (rr')(\cos (\theta + \theta') + i\sin(\theta + \theta')) \\ \alpha^n &=& r^n(\cos (n\theta) + i\sin(n\theta)) \\ \sqrt[n]{\alpha} &=& \sqrt[n]{r}\left(\cos \frac{\theta + 2k\pi}{n} + i\sin \frac{\theta + 2k\pi}{n}\right) \\ \end{eqnarray}

Ако се чудите защо коренуването е толкова шантаво - ами просто корен $n$-ти трябва да бъдат $n$ различни числа. Получават се като се замества $k$ с числата от $0$ до $n-1$. Всъщност формулата за коренуване гарантира, че всеки корен, повдигнат на $n$-та степен ще получи $\alpha$.

Линейно пространство

Сега ще дефинираме понятието линейно(още векторно, скаларно) пространство и ще се занимаваме с него до края на алгебра … 2.

Дефиниция(векторно пространство над поле)
Векторно пространство $V$ над поле $F$ наричаме множество, за което са изпълнени следните условия:

Елементите на пространството се наричат вектори. Елементите на полето се наричат скалари.

# свойство ограничение пояснение
1 $V \ne \varnothing$ множеството не е празно
2 $+ : V \times V \to V$ бинарна операция събиране на елементи от пространството
3 $a + b = b + a$ $a, b \in V$ комутативност
4 $(a + b) + c = a + (b + c)$ $a, b, c \in V$ асоциативност
5 $\exists \bar 0: a + \bar 0 = a$ $\bar 0, a \in V$ съществува неутрален елемент - ще го бележим $\bar 0$ за да го различаваме от нулата на полето $F$
6 $\forall a \exists b : a + b = \bar 0$ $a, b \in V$ съществуване на противоположен елемент
следват интересните свойства
7 $* : F \times V \to V$ бинарна операция умножение на елемент от пространството и елемент от полето, като резултата е от пространството
8 $1a = a$ $a \in V \ 1 \in F$ единицата на полето умножена по произволен вектор не го променя
9 $\lambda (a + b) = \lambda a + \lambda b$ $\lambda \in F\ a, b \in V$ дистрибутивно свойство 1
10 $(\lambda + \mu)a = \lambda a + \mu a$ $\lambda, \mu \in F \ a \in V$ дистрибутивно свойство 2
11 $(\lambda\mu)a = \lambda(\mu a)$ $\lambda, \mu \in F \ a \in V$ асоциативност спрямо умножението

Следствия

1. Единственост на неутралния елемент $\bar 0$
Доказателство
Допускаме, че съществуват 2 нули - нека ги отбележим със $\bar 0' \bar 0''$:
Заместваме във свойство 5, като единия път заместваме $0$ със $\bar 0'$, $a$ със $\bar 0''$, а другия наобратно

(14)
\begin{eqnarray} \bar 0 \to \bar 0';\ a \to \bar 0'' &:& a + \bar 0 = \bar 0'' + \bar 0' = \bar 0''\\ \bar 0 \to \bar 0'';\ a \to \bar 0' &:& a + \bar 0 = \bar 0' + \bar 0'' = \bar 0'\\ \end{eqnarray}

Тъй като $\bar 0'' + \bar 0' = \bar 0' + \bar 0''$ от комутативността на събирането получаваме, че и десните страни са равни (т.е $\bar 0' = \bar 0''$)

2. Единственост на противоположния елемент:
Ще допуснем противното. Нека $b'$ и $b''$ са противоположни на $a$. От дефиницията на противоположен елемент имаме:

(15)
\begin{eqnarray} a + b' &=& \bar 0 \\ a + b'' &=& \bar 0 \end{eqnarray}

Сега ще разгледаме израза $b' + a + b''$ като ще групираме събираемите по 2та начина:

(16)
\begin{eqnarray} b' + (a + b'') &=& b' + \bar 0 = b' \\ (b' + a) + b'' &=& \bar 0 + b'' = b'' \end{eqnarray}
(17)
\begin{align} b' = b' + (a + b'') = (b' + a) + b'' = b'' \Longrightarrow b' = b'' \end{align}

3. $0a = \bar 0 \quad 0 \in F\ a, \bar 0 \in V$

(18)
\begin{equation} a = 1a = (1 + 0)a = 1a + 0a = a + 0a \end{equation}

Използвахме свойството 8 и от единствеността на $\bar 0$ следва $0a = \bar 0$

4. $\lambda \bar 0 = \bar 0 \quad \forall \lambda \in F$

(19)
\begin{align} \lambda a = \lambda (a + \bar 0) = \lambda a + \lambda \bar 0 \end{align}

От единствеността на $\bar 0$ следва че $\lambda \bar 0 = \bar 0$

5. $\lambda a = \bar 0 \iff \lambda = 0$ или $a = \bar 0$
Ще използваме доста това свойство затова е хубаво да го докажем :)

В обратната посока го доказахме (следствие 3 и 4).
В правата посока - допускаме, че $\lambda \ne 0$ (иначе сме готови):

(20)
\begin{eqnarray} \lambda a &=& \bar 0 \quad \big| * \frac{1}{\lambda} \\ a &=& \frac{1}{\lambda} \bar 0 \\ a &=& \bar 0 \end{eqnarray}

6. $a, b \in V \Rightarrow \exists! x \in V : a + x = b$
ами просто прибавяме от 2те страни $(-a)$, като по този начин получаваме колко е $x$:

(21)
\begin{eqnarray} a + x &=& b \quad \big| + (-a)\\ a + x + (-a) &=& b + (-a) \\ a + (-a) + x &=& b + (-a) \\ \bar 0 + x &=& b + (-a) \\ x &=& b + (-a) \\ \end{eqnarray}

7. $-1a = -a\ \forall a \in V$

(22)
\begin{align} a + (-1)a = (1 + (-1))a = 0a = \bar 0 \end{align}

Т.е получихме, че $(-1)a$ е противоположния на $a$, т.е $-a$.

Линейно подпространство

Дефиниция:
$U$ е линейно подпространство на $V$, ако $U$ е линейно пространство на $F$ относно същите операции във $V$.

Какво означава израза "относно същите операции"? Ако в едно линейно пространство $V$ над полето $F$ сме дефинирали операция събиране и умножаване със скалар, и си вземем част от елементите на $V$ (т.е някакво подмножество - нека го наречем $U$), то ако вземем 'наготово' операциите събиране и умножение със скалар от $V$ за новото множетво $U$, и ако то се окаже пространство над $F$, то тогава наричаме $U$ (линейно) подпространство на $V$ над $F$.
Обърнете внимание, че по същество не дефинираме нещо кой знае колко ново, просто отбелязваме факта, че освен $U$ да е пространство над $F$ то споделя същите операции като $V$, и е негово подмножество. Ето защо линейно подпространство е по-значещото определение, защото освен да се подразбира че даденото множество е линейно пространство се разбира и за негово надмножество, което също е пространство над $F$. За напред ще използваме много често понятието подпространство, тъй като много често имаме някакво базово пространство, за което откриваме че дадени негови подмножества също са пространства (т.е подпространства).

С доказателството на следното твърдение получаваме мощен метод за доказателство, че нещо е подпространство (от където и пространство).

Твърдение:
$\varnothing \ne U \subset V$ подпространство на $V$ над $F$

(23)
\begin{align} \iff \begin{array}{|lr} a + b \in U & \forall a, b \in U \\ \lambda a \in U & \forall a \in U\ \forall \lambda \in F \end{array} \iff \begin{array}{|l} \lambda a + \mu b \in U \\ \forall a, b \in U\ \forall \lambda, \mu \in F \end{array} \end{align}

Обърнете внимание, че първото тогава-и-само-тогава следва от дефиницията (т.е може да си мислите че това е дефиницията). Важно е последното твърдение… защото е само 1 и ни помага по-лесно (т.е със една сметка, не със 2) да доказваме наличие на подпространство.

Доказателство:
Първо ще докажем наобратно защото е по-лесно (макар че те и 2те са толкова лесни че трудно може да се определи кое е по-лесното… :))
Тъй като второто твъдение е само 1, то се очаква да бъде "по-силно" от другите 2 поотделно. Ако положим $\lambda = \mu = 1$ получаваме:

(24)
\begin{align} \lambda a + \mu b = 1a + 1b = a + b \in U \end{align}

Т.е видяхме че първата част от 1вото твърдение ($a + b \in U \quad \forall a, b \in U$) е следствие от $\lambda a + \mu b \in U \quad \forall a,b \in U \forall \lambda, \mu \in F$. По същия начин полагаме $\mu = 0$, ($b = \bar 0$ също ще свърши работа) и получаваме:

(25)
\begin{align} \lambda a + \mu b = \lambda a + 0b = \lambda a + \bar 0 = \lambda a \in U \end{align}

Сега правата посока:

(26)
\begin{align} \left| \begin{array}{rcl} \left|\begin{array}{rcl} \lambda &\in& F \\ a &\in& U \end{array}\right\} & \Rightarrow & \lambda a \in U \\ \left|\begin{array}{rcl} \mu &\in& F \\ b &\in& U \end{array}\right\} & \Rightarrow &\mu b \in U \end{array}\right\} \Rightarrow \lambda a + \mu b \in U \end{align}

Т.е използвахме 2 пъти умножение, и веднъж събиране (който са простите свойства, който имаме) за да 'сглобим' сложното свойство.

Линейна комбинация

Определение
$V$ - линейно пространство над $F$
$a_1, a_2, \cdots, a_k = A \quad a_i \in V\ i = 1..k$ е съвкупност от $k$ вектора от $V$
$x = \lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 + \cdots + \lambda_k a_k \quad \lambda_i \in F\ i = 1..k$ се нарича линейна комбинация на векторите $a_1, a_2, \cdots, a_k$

Линейна обвивка

$V$ - линейно пространство над $F$
$a_1, a_2, \cdots, a_k = A \quad a_i \in V\ i = 1..k$ е съвкупност от $k$ вектора от $V$

(27)
\begin{align} l(a_1, a_2, \cdots, a_k) = l(A) = \left\{ \lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 + \cdots + \lambda_k a_k\ |\ \forall \lambda_i \in F \ i = 1..k \right\} \end{align}

т.е линейна обвивка на $k$ вектора е множеството от всички техни линейни комбинации.

Твърдение:
$V$ линейно пространство над $F$
$a_i \in V\ i = 1..k$ - $k$ вектора
$\Rightarrow l(a_1, a_2, \cdots, a_k)$ е линейно подпространство на $V$

Доказателство
Ще използваме доказаното преди малко твърдение (тъкмо ще видим и как се използва :)):

1. Взимаме си 2 произволни елемента от предполагаемото подпространство $U = l(A)$:

(28)
\begin{eqnarray} x \in l(A) &\Rightarrow& \exists \lambda_i \in F : x = \lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 + \cdots + \lambda_k a_k\\ y \in l(A) &\Rightarrow& \exists \mu_i \in F : y = \mu_1 a_1 + \mu_2 a_2 + \cdots + \mu_k a_k \end{eqnarray}

Сега си избираме 2 произволни елемента от $F$ и да ги отбележим със $\lambda, \mu$. Трябва да се уверим, че $\lambda x + \mu y \in U$, за да използваме предното твърдение и да заключим, че $U = l(A)$ е линейно подпространство на $V$ над $F$.

(29)
\begin{eqnarray} \lambda x + \mu y &=& \lambda (\lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 + \cdots + \lambda_k a_k) + \mu (\mu_1 a_1 + \mu_2 a_2 + \cdots + \mu_k a_k)\\ &=& (\lambda\lambda_1)a_1 + (\lambda\lambda_2)a_2 + \cdots + (\lambda\lambda_k)a_k + (\mu\mu_1)a_1 + (\mu\mu_2)a_2 + \cdots + (\mu\mu_k)a_k\\ &=& \underbrace{(\lambda\lambda_1 + \mu\mu_1)}_{\lambda'_1}a_1 + \underbrace{(\lambda\lambda_2 + \mu\mu_2)}_{\lambda'_2}a_2 + \cdots + \underbrace{(\lambda\lambda_k + \mu\mu_k)}_{\lambda'_k}a_k\\ &=& \lambda'_1 a_1 + \lambda'_2 a_2 + \cdots + \lambda'_k a_k \end{eqnarray}

Т.е показахме, че $\lambda x + \mu y$ е линейна комбинация на $a_1, a_2, \cdots, a_k$ ($\lambda'_1, \lambda'_2, \cdots, \lambda'_k$ са коефициентите). От където разбира се следва, че $\lambda x + \mu y \in l(A)$.
Доказахме, че за произволни $x, y \in l(A), \lambda, \mu \in F$ следва $\lambda x + \mu y \in l(A)$. От предното твърдение получаваме, че $l(A)$ е линейно подпространство на $V$ над $F$.

Матрица

Дефиниция
$F$ е поле.
Матрица $A$ над полето $F$ е правоъгълна таблица с елементи от $F$.

(30)
\begin{align} A = \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & \cdots & a_{1k} \\ a_{21} & a_{22} & \cdots & a_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} & a_{n2} & \cdots & a_{nk} \end{pmatrix}_{n \times k} = (a_{ij})_{n \times k} \quad a_{ij} \in F \end{align}

Дефинираме операциите събиране на 2 матрици и умножение на матрица с число

(31)
\begin{eqnarray} A = (a_{ij})_{n \times k},\ B = (b_{ij})_{n \times k} \\ \Rightarrow A+B = (a_{ij} + b_{ij})_{n \times k} &=& \begin{pmatrix} a_{11} + b_{11} & a_{12} + b_{12} & \cdots & a_{1k} + b_{1k} \\ a_{21} + b_{21} & a_{22} + b_{22} & \cdots & a_{2k} + b_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ a_{n1} + b_{n1} & a_{n2} + b_{n2} & \cdots & a_{nk} + b_{nk} \end{pmatrix}_{n \times k}\\ A = (a_{ij})_{n \times k},\ \lambda \in F \\ \Rightarrow \lambda A = (\lambda a_{ij})_{n \times k} &=& \begin{pmatrix} \lambda a_{11} & \lambda a_{12} & \cdots & \lambda a_{1k} \\ \lambda a_{21} & \lambda a_{22} & \cdots & \lambda a_{2k} \\ \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \\ \lambda a_{n1} & \lambda a_{n2} & \cdots & \lambda a_{nk} \end{pmatrix}_{n \times k} \end{eqnarray}

$M_{n \times k} (F) = \{ A = (a_{ij})_{n \times k} | a_{ij} \in F \}$ линейно пространство над полето $F$ (всички матрици с $n$ реда и $k$ стълба)
$F^n$ - множеството на $n$-мерните вектори $= M_{1 \times n}(F)$ линейно пространство над $F$ (матрица с един ред и $n$ стълба)

Unless otherwise stated, the content of this page is licensed under Creative Commons Attribution-NonCommercial-ShareAlike 3.0 License