Комплексни числа. Полета. Числови полета.
статията се нуждае от дописване
Поле
Дефиниция:
Ако $M$ е непразно множество с 2 бинарни операции - $+$ и $*$, за който са изпълнени следните условия:
- $a + b = b + a \quad ab = ba$ комутативност на събирането и умножението
- $(a + b) + c = a + (b + c) \quad (ab)c = a(bc)$ асоциативност на събирането и умножението
- $\exists 0 : 0 + a = a \quad \exists 1 : 1a = a \ \forall a \in M$ съществуване на неутрален елемент относно събирането и умножението
- $\forall a \in M\ \begin{cases} \exists b=-a : a+b = 0 \\ \exists b=\frac{1}{a}: ab = 1 & a \ne 0 \end{cases}$ съществува противоположен елемент относно операциите събиране и умножение
- $(a+b)c = ab + ac$ дистрибутивност
За сега сме се сблъсквали най-често с полето на рационалните и реалните числа : $\mathbb Q,\ \mathbb R$ - полета.
$\mathbb N,\ \mathbb Z$ - не са полета ($\mathbb N$ не изпълнява 4 за събиране, $\mathbb Z$ не изпълнява 4 за умножение)
изваждане и деление
Да не си помислите, че в полетата ги няма дефинирани тези операции? Просто дефиницията загатва за тях чрез противоположните елементи и ще трябва да си ги дефинираме отделно:
(1)Ако искаме да извадим $b$ просто трябва да съберем с противоположния елемент на $b$ отностно операцията събиране - т.е $(-b)$. Респективно за делението - трябва да умножим с противоположния елемент относно операцията умножение (на $b$ противоположен е $\frac{1}{b}$)
Комплексни числа
Сега ще се запознаем с още едно поле - именно полето на комплексните числа $\mathbb C$.
Дефиниция:
Множеството на комплексните числа е множеството от наредени 2ки реални числа $(a, b)$, където $a$ се нарича реална част, b се нарича комплексна част. Операцийте $+ \ *$ са дефинирапо следния начин:
Защо е точно такава дефиницията за умножение на комплексни числа, прочетете по-долу в статията.
Това е една от многото възможни дефиниции - точно тази е дадена на лекции.
Едно интересно свойство:
$\mathbb R$ се влага в $\mathbb C$ (инекция)
На всяко реално число $a$ може да съпоставим комплексно число $(a, 0)$. Изпълнено е:
$a, b \in \mathbb R a \to (a, 0),\ b \to (b, 0) \Rightarrow a+b \to (a+b, 0)$
$a, b \in \mathbb R a \to (a, 0),\ b \to (b, 0) \Rightarrow ab \to (ab, 0)$
Защо C е поле
В момента за $\mathbb C$ знаем, че е множество, с дефинирани операции $+$ и $*$. Сега ще проверим че са изпълнени 5те условия за поле, с което ще докажем, че $\mathbb C$ всъщност е поле:
Това е общото условие (за да не го преписвам всеки път):
(3)Свойство 1:
(4)Първо прилагаме дефиницията за събиране на комплексни числа, след което разменяме $a$ и $c$ както и $b$ и $d$ защото те са реални числа и за тях е изпълнено комутативното свойство (св. 1), след което просто използваме дефиницията за събиране на комплексни числа в обратната посока. Умножението е аналогично.
Свойство 2:
Аналогично на свойство 1.
Свойство 3:
Елементите $(0, 0)$ и $(1, 0)$ отговарят за неутрални относно събиране и умножение съответно:
Свойство 4:
Противоположен елемент на $(a, b)$ при операция събиране e $(-a, -b)$.
Има различни начини да намерим противоположния елемент на $(a, b)$. Ще покажа няколко от тях:
Нека приемем, че $(c, d)$ е противоположен на $(a, b)$. Тогава:
Решаваме тази система спрямо $c$ и $d$ (т.е това са неизвестните) и получаваме:
(7)Следващия начин след малко :)
Свойство 5:
Като се разпише израза отляво и отдясно по правилата за събиране и умножение ще се получи еднакъв резултат
Имагинерна единица
Не знам от къде е дошла идеята за алгебричен запис на комплексни числа, но трябва да се признае че е доста сполучлива:
Всяко комплексно число $(a, b)$ може да се запише като $a + bi$, където $i$ е специално число, наречено имагинерна единица, което както сами може да се досетите не е реално. Като го повдигнем на квадрат обаче, получаваме реалното число -1. (обърнете внимание, че досега не можехме да намираме корени на отрицателни числа - е … вече можем). До сега всичко изглежда нагласено, обаче ако използваме този запис - $a + bi$ и това свойство $i^2 = -1$ можем да смятаме с комплексни числа точно както сме смятали с реални до сега - ето как се разписват събирането и умножението:
Не мога да дам точна дефиниция на правилата, зад тези сметки - просто интуитивно извършвамe действията все едно числата са реални, и ако се появи $i$ на по-висока степен я редуцирамe (като заменям колкото се налага $i^2$ със -1) до нулева или първа. Накрая - коефициента, пред който няма $i$ е реалната част на комплексното число, а този със $i$ е имагинерната част.
Комплексно спрягане
Всяко комплексно число си има комплексно спрегнато. То се получава като се умножи комплексната част по -1. Т.е комплексно спрегнатото на $(a, b)$ е $\overline{(a, b)} = (a, -b)$. Обърнете внимание, че реалните числа (разгледани като комплексни) имат комплексно спрегнати, съвпадащи със самите тях (това е така защото при тях имагинерната част е 0).
Свойства
Със гръцки букви $(\alpha, \beta)$ ще бележим комплексни числа. Черта отгоре означава комплексно спрегнато:
(9)Това последното ще наричаме модул на комплексно число. Ако си мислим за модул като 'премахване на знака' както беше случая с реалните числа няма да стигнем много далеч, но ако го възприемаме като разстояние до 0 има повече логика - ако си представим комплексните числа координати върху декартова координатна система (да - тази за която се сещате) то модул на комплексно число е точно дължината на отсечката, свързваща го с (0, 0).
Доказателството на тези свойства е тривиално - използват се единствено дефинициите за спрегнато и сбор/произведение.
Сега да видим с какво това ще ни помогне за намирането на противоположния елемент на $(a, b)$ относно умножението:
(10)Както виждате - разширихме дробта със комплексно спрегнатото на знаменателя, за да получим реален знаменател. Все пак имахме $i$, в знаменател - а там наистина не знахме какво да го правим :)
Запис чрез тригонометрични функции
До тук видяхме, че комплексните числа могат да се записват като наредена двойка $(a, b)$, като многочлен, в който участва $i$ - $a + bi$. Има обаче още един разпространен запис - именно чрез тригонометрични функции. Ако гледаме на комплексното число $\alpha$ като точка в равнината, чието разстояние до нулата (модул) е $r$, а ъгълът който сключва лъча с начало (0, 0) и край $\alpha$ с лъча $Ox$ - $\theta$ то може да запишем $\alpha$ по следния начин:
(11)Сега сигурно се чудите как се събират комплексни числа записани по този начин? Ами трудно. Добрата новина е че умножението/делението и степенуването/коренуването стават доста лесно. На помощ идват
Формули на Моавър
(12)Ако се чудите защо коренуването е толкова шантаво - ами просто корен $n$-ти трябва да бъдат $n$ различни числа. Получават се като се замества $k$ с числата от $0$ до $n-1$. Всъщност формулата за коренуване гарантира, че всеки корен, повдигнат на $n$-та степен ще получи $\alpha$.
Линейно пространство
Сега ще дефинираме понятието линейно(още векторно, скаларно) пространство и ще се занимаваме с него до края на алгебра … 2.
Дефиниция(векторно пространство над поле)
Векторно пространство $V$ над поле $F$ наричаме множество, за което са изпълнени следните условия:
Елементите на пространството се наричат вектори. Елементите на полето се наричат скалари.
# | свойство | ограничение | пояснение |
---|---|---|---|
1 | $V \ne \varnothing$ | множеството не е празно | |
2 | $+ : V \times V \to V$ | бинарна операция събиране на елементи от пространството | |
3 | $a + b = b + a$ | $a, b \in V$ | комутативност |
4 | $(a + b) + c = a + (b + c)$ | $a, b, c \in V$ | асоциативност |
5 | $\exists \bar 0: a + \bar 0 = a$ | $\bar 0, a \in V$ | съществува неутрален елемент - ще го бележим $\bar 0$ за да го различаваме от нулата на полето $F$ |
6 | $\forall a \exists b : a + b = \bar 0$ | $a, b \in V$ | съществуване на противоположен елемент |
следват интересните свойства | |||
7 | $* : F \times V \to V$ | бинарна операция умножение на елемент от пространството и елемент от полето, като резултата е от пространството | |
8 | $1a = a$ | $a \in V \ 1 \in F$ | единицата на полето умножена по произволен вектор не го променя |
9 | $\lambda (a + b) = \lambda a + \lambda b$ | $\lambda \in F\ a, b \in V$ | дистрибутивно свойство 1 |
10 | $(\lambda + \mu)a = \lambda a + \mu a$ | $\lambda, \mu \in F \ a \in V$ | дистрибутивно свойство 2 |
11 | $(\lambda\mu)a = \lambda(\mu a)$ | $\lambda, \mu \in F \ a \in V$ | асоциативност спрямо умножението |
Следствия
1. Единственост на неутралния елемент $\bar 0$
Доказателство
Допускаме, че съществуват 2 нули - нека ги отбележим със $\bar 0' \bar 0''$:
Заместваме във свойство 5, като единия път заместваме $0$ със $\bar 0'$, $a$ със $\bar 0''$, а другия наобратно
Тъй като $\bar 0'' + \bar 0' = \bar 0' + \bar 0''$ от комутативността на събирането получаваме, че и десните страни са равни (т.е $\bar 0' = \bar 0''$)
2. Единственост на противоположния елемент:
Ще допуснем противното. Нека $b'$ и $b''$ са противоположни на $a$. От дефиницията на противоположен елемент имаме:
Сега ще разгледаме израза $b' + a + b''$ като ще групираме събираемите по 2та начина:
(16)3. $0a = \bar 0 \quad 0 \in F\ a, \bar 0 \in V$
(18)Използвахме свойството 8 и от единствеността на $\bar 0$ следва $0a = \bar 0$
4. $\lambda \bar 0 = \bar 0 \quad \forall \lambda \in F$
(19)От единствеността на $\bar 0$ следва че $\lambda \bar 0 = \bar 0$
5. $\lambda a = \bar 0 \iff \lambda = 0$ или $a = \bar 0$
Ще използваме доста това свойство затова е хубаво да го докажем :)
В обратната посока го доказахме (следствие 3 и 4).
В правата посока - допускаме, че $\lambda \ne 0$ (иначе сме готови):
6. $a, b \in V \Rightarrow \exists! x \in V : a + x = b$
ами просто прибавяме от 2те страни $(-a)$, като по този начин получаваме колко е $x$:
7. $-1a = -a\ \forall a \in V$
(22)Т.е получихме, че $(-1)a$ е противоположния на $a$, т.е $-a$.
Линейно подпространство
Дефиниция:
$U$ е линейно подпространство на $V$, ако $U$ е линейно пространство на $F$ относно същите операции във $V$.
Какво означава израза "относно същите операции"? Ако в едно линейно пространство $V$ над полето $F$ сме дефинирали операция събиране и умножаване със скалар, и си вземем част от елементите на $V$ (т.е някакво подмножество - нека го наречем $U$), то ако вземем 'наготово' операциите събиране и умножение със скалар от $V$ за новото множетво $U$, и ако то се окаже пространство над $F$, то тогава наричаме $U$ (линейно) подпространство на $V$ над $F$.
Обърнете внимание, че по същество не дефинираме нещо кой знае колко ново, просто отбелязваме факта, че освен $U$ да е пространство над $F$ то споделя същите операции като $V$, и е негово подмножество. Ето защо линейно подпространство е по-значещото определение, защото освен да се подразбира че даденото множество е линейно пространство се разбира и за негово надмножество, което също е пространство над $F$. За напред ще използваме много често понятието подпространство, тъй като много често имаме някакво базово пространство, за което откриваме че дадени негови подмножества също са пространства (т.е подпространства).
С доказателството на следното твърдение получаваме мощен метод за доказателство, че нещо е подпространство (от където и пространство).
Твърдение:
$\varnothing \ne U \subset V$ подпространство на $V$ над $F$
Обърнете внимание, че първото тогава-и-само-тогава следва от дефиницията (т.е може да си мислите че това е дефиницията). Важно е последното твърдение… защото е само 1 и ни помага по-лесно (т.е със една сметка, не със 2) да доказваме наличие на подпространство.
Доказателство:
Първо ще докажем наобратно защото е по-лесно (макар че те и 2те са толкова лесни че трудно може да се определи кое е по-лесното… :))
Тъй като второто твъдение е само 1, то се очаква да бъде "по-силно" от другите 2 поотделно. Ако положим $\lambda = \mu = 1$ получаваме:
Т.е видяхме че първата част от 1вото твърдение ($a + b \in U \quad \forall a, b \in U$) е следствие от $\lambda a + \mu b \in U \quad \forall a,b \in U \forall \lambda, \mu \in F$. По същия начин полагаме $\mu = 0$, ($b = \bar 0$ също ще свърши работа) и получаваме:
(25)Сега правата посока:
(26)Т.е използвахме 2 пъти умножение, и веднъж събиране (който са простите свойства, който имаме) за да 'сглобим' сложното свойство.
Линейна комбинация
Определение
$V$ - линейно пространство над $F$
$a_1, a_2, \cdots, a_k = A \quad a_i \in V\ i = 1..k$ е съвкупност от $k$ вектора от $V$
$x = \lambda_1 a_1 + \lambda_2 a_2 + \cdots + \lambda_k a_k \quad \lambda_i \in F\ i = 1..k$ се нарича линейна комбинация на векторите $a_1, a_2, \cdots, a_k$
Линейна обвивка
$V$ - линейно пространство над $F$
$a_1, a_2, \cdots, a_k = A \quad a_i \in V\ i = 1..k$ е съвкупност от $k$ вектора от $V$
т.е линейна обвивка на $k$ вектора е множеството от всички техни линейни комбинации.
Твърдение:
$V$ линейно пространство над $F$
$a_i \in V\ i = 1..k$ - $k$ вектора
$\Rightarrow l(a_1, a_2, \cdots, a_k)$ е линейно подпространство на $V$
Доказателство
Ще използваме доказаното преди малко твърдение (тъкмо ще видим и как се използва :)):
1. Взимаме си 2 произволни елемента от предполагаемото подпространство $U = l(A)$:
(28)Сега си избираме 2 произволни елемента от $F$ и да ги отбележим със $\lambda, \mu$. Трябва да се уверим, че $\lambda x + \mu y \in U$, за да използваме предното твърдение и да заключим, че $U = l(A)$ е линейно подпространство на $V$ над $F$.
(29)Т.е показахме, че $\lambda x + \mu y$ е линейна комбинация на $a_1, a_2, \cdots, a_k$ ($\lambda'_1, \lambda'_2, \cdots, \lambda'_k$ са коефициентите). От където разбира се следва, че $\lambda x + \mu y \in l(A)$.
Доказахме, че за произволни $x, y \in l(A), \lambda, \mu \in F$ следва $\lambda x + \mu y \in l(A)$. От предното твърдение получаваме, че $l(A)$ е линейно подпространство на $V$ над $F$.
Матрица
Дефиниция
$F$ е поле.
Матрица $A$ над полето $F$ е правоъгълна таблица с елементи от $F$.
Дефинираме операциите събиране на 2 матрици и умножение на матрица с число
(31)$M_{n \times k} (F) = \{ A = (a_{ij})_{n \times k} | a_{ij} \in F \}$ линейно пространство над полето $F$ (всички матрици с $n$ реда и $k$ стълба)
$F^n$ - множеството на $n$-мерните вектори $= M_{1 \times n}(F)$ линейно пространство над $F$ (матрица с един ред и $n$ стълба)